【技術文檔】《算法設計與分析導論》R.C.T.Lee等·第4章 分治策略

分治策略有一種「大事化小，小事化了」的境界，它的思想是將原問題分解成兩個子問題，兩個子問題的性質和原問題相同，所以這兩個子問題能夠再用分治策略求解，最終將兩個子問題的解合併成原問題的解。有時，咱們會有這樣的疑惑：分治策略是將原問題分解成子問題，子問題又用分治策略求解，那分治策略究竟是什麼？這種感受就像聽到有人說「由於我說我沒有作錯事，因此我沒有作錯事」同樣，讓咱們不知道他「沒有作錯事」的真正緣由是什麼。

對於上面的困惑，我本科的老師告誡過咱們：「對於分治策略，當大家想不明白的時候只需記住兩點：一是怎樣將問題分解成兩個子問題，二是要有遞歸出口。」舉個小例子：八個小夥伴爲肯定誰是領頭，決定比武論，兩兩比較，勝者將進入下一輪再進行兩兩比較，最終將決出一個領頭，若是咱們將這個思路倒過來想就是分治策略了，八我的分紅兩組，此時每組四人，每組決出一個領頭，再比較這兩個組的領頭就能決出最終那個領頭，而每組領頭的決出又採用將該組分紅兩組，每組兩人，這時直接比較就能決出領頭的，無需再分，此處就是遞歸的出口。說了這麼多，總結一下分治策略的步驟：

1. 若是問題規模足夠小，那麼採起方法解決它；不然，繼續將問題劃分爲兩個子問題（小事化了）
2. 對於子問題仍採用分治策略（大事化小）
3. 將子問題的解合併成原問題的解（特別注意）

第一步、第二步是思惟的問題，只要咱們不陷入思惟的漩渦，記住處理遞歸出口就沒有問題，而第三步是細節問題，咱們經常忽略，並且不易處理，下面舉兩個例子來加以說明。

求二維極大點問題。在二維空間中，若是x1>x2且y1>y2，那麼稱點（x1，y1）支配點（x2，y2）。在一個二維點集中，若是一個點沒有被其它點支配，則稱這個點是極大點。爲了找出這個點集的全部極大點，能夠採用分治策略，將點集劃分紅點數更少的兩個點集，遞歸出口是：當點集只有一個點時，這個點就是這個點集的極大點。對於合併子問題的解的時候就要當心了，並非簡單地取它們的並集，而要考慮這兩個點集的極大點之間是否存在支配與被支配的關係，處理的方法很簡單：若是左子點集的極大點的y值小於右子點集中的某個極大點，則捨棄左子點集的該極大點。

最近點對問題：一個平面上有n個點，找出距離最近的那對點。採用分治策略，第一二步就不說了。當咱們合併這個子點集的最近點對時須要注意：原點集的最近點對的兩個端點可能在不一樣的子點集中，這就須要咱們考慮，以分割線附近的點爲圓心，以兩子點集較小的點對的距離爲半徑畫圓，判斷圓內是否存在另個點集中的點，若是存在，最短距離將更改，若是沒有，最短距離就是兩子點集較小的點對的距離。

在大學老師告誡咱們的兩點，加上合併注意事項，就構成了採用分治策略應注意的三點：

1. 思考如何將大問題分解成兩個小問題
2. 記住遞歸出口
3. 處理合並解的問題