圖的連通性---最小生成樹(Prim算法)

1.如今要選擇這樣一個生成樹，也就是使總耗費最少。這個問題就是構造連通網的最小代價生成樹（Minimum Cost Spanning Tree）簡稱爲最小生成樹的問題。一顆生成樹的代價就是樹上各邊的代價之和。

構造最小生成樹的算法有多種。大多算法利用了最小生成樹的下列簡稱爲MST的特性：

假設N=(V,{E})是一個連通網，（N表明連通網，V表明網的各個頂點，E表明網的邊），U是頂點集V的一個非空子集。若（u,v）是一條具備最小權值的邊，其中u屬於U，v屬於V-U，則必存在一顆包含邊（u,v）的最小生成樹。

2.反證法證實上面MST特性：

假設網N的任意一顆最小生成樹都不包含（u,v）.設T是連通網上的一顆最小生成樹，當將邊（u,v）加入T中時，由生成樹的定義可知，T中必存在一條包含（u,v）的迴路。

另外一方面，因爲T是生成樹，則在T中必存在一條（u1,v1）,其中u1屬於U，v1屬於V-U，且u,u1,v,v1必有路徑相通。刪去（u1,v1）即可消除上述迴路，同時獲得另外一顆生成樹T1。因爲（u,v）的代價不高於（u1,v1）,則T1的代價不高於T，T1是包含（u,v）的一顆最小生成樹。由此可假設矛盾。

3.普里姆（prim）算法 

假設N=(V，{E})是連通網，TE是N上最小的生成樹中邊的集合。算法從U={u0},(u0屬於V)，TE={}開始，重複執行下述操做：在全部u屬於U，v屬於V-U的邊（u，v）屬於E中，尋找一條代價最小的邊（u0,v0）併入集合TE中，同時v0也併入集合U中，直到U=V爲止。此時TE中必有n-1條邊，而T=（V,{E}）爲N的最小生成樹。

爲實現這個算法，須要附設一個輔助數組closedge,以記錄從U到U-V具備最小代價的邊。對每一個頂點vi屬於V-U，在輔助數組中存在一個相應份量closedge[i-1],它包含兩個域，其中lowcost存儲該邊上的權。vex存儲附屬在該邊上的在U中的頂點。 

/**
     * 普里姆算法，最小生成樹，
     * 從圖中第start個元素開始，生成最小樹
     */
    public void prim(int start) {
        Integer vexNum = mVexs.length; //頂點的個數
        int index = 0;//prim最小樹的索引，即prims數組的索引
        String[] prims = new String[vexNum]; //prim最小樹的結果數組
        int[] weights = new int[vexNum]; //頂點間的權值
        prims[index++] = mVexs[start].data; //prim生成樹的第一個頂點是從start開始的

        /**
         * 初始化頂點的權值數組；
         * 將每一個頂點的權值初始化爲第start個頂點到該頂點的權值
         */
        for (int i = 0; i < vexNum; i++) {
            weights[i] = getWeight(start, i);
        }


        for (int i = 0; i < vexNum; i++) {
            if (start == i) {
                continue; //終止本次循環，進行下一次循環，break終止for中的循環，進行循環下面的語句
            }
            int j = 0, k = 0, min = INF;
            //在未被加入最小生成樹的頂點中，找出權值最小的頂點
            while (j < vexNum) {
                //當weights[j]=0時，意味着第j個頂點已經被排序過，或者說已經加入了最小生成樹中
                if (weights[j] != 0 & weights[j] < min) {
                    min = weights[j];
                    k = j;  //將最小權值的頂點賦給k
                }
                j++;
            }

            /**
             *  通過上面的while循環，則知在未被加入到最小生成樹的頂點中，權值最小的是k
             *  將第k個頂點加入到prims數組中
             */
            prims[index++] = mVexs[k].data;
            //並將第k個頂點的權值標記爲0，意味着第k個頂點已經被排序過了或者說被加入到了最小生成樹的結果中
            weights[k] = 0;

            //更新其餘頂點到最小生成樹中頂點的權值
            for (j = 0; j < vexNum; j++) {
                //獲取第k個頂點到第j個頂點的權值
                int tmp = getWeight(k, j);
                //當第j個頂點未在最小生成樹中，且第j個頂點到最小生成樹中頂點的權值須要更新時，即加入k頂點後，已再也不是最小權值時
                if (weights[j] != 0 && tmp < weights[j]) {
                    weights[j] = tmp;
                }
            }
        }
        /**
         * 當prim最小生成樹已經生成完畢時
         * 計算最小生成樹的權值
         */
        int sum = 0;
        //要從第2個元素開始，索引爲1，由於要計算兩頂點之間的權值
        for (int i = 1; i < index; i++) {
            int min = INF;
            //或者去prims[i]頂點在頂點中的位置
            int n = getPostion(prims[i]);
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                int m = getPostion(prims[j]);
                int tmp = getWeight(m, n);
                if (tmp < min) {
                    min = tmp;

                }
            }
            sum += min;

        }


        /**
         * 打印最小生成樹
         */
        System.out.println("PRIM" + mVexs[start].data + "=" + sum);
        for (int i = 0; i < index; i++) {
            System.out.println(prims[i]);

        }
    }