算法筆記(1)：快速冪

算法筆記(1)：快速冪

快速冪（Exponentiation by squaring，平方求冪）是一種簡單而有效的小算法，它能夠以O(lgn)的時間複雜度計算乘方。快速冪不只自己很是常見，並且後續不少算法也都會用到快速冪。

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讓咱們先來思考一個問題：7的10次方，怎樣算比較快？

方法1：最樸素的想法，77=49，497=343，... 一步一步算，共進行了9次乘法。

這樣算無疑太慢了，尤爲對計算機的CPU而言，每次運算只乘上一個個位數，無疑太屈才了。這時咱們想到，也許能夠拆分問題。

方法2：先算7的5次方，即77777，再算它的平方，共進行了5次乘法。

但這並非最優解，由於對於「7的5次方」，咱們仍然能夠拆分問題。

方法3：先算77得49，則7的5次方爲4949*7，再算它的平方，共進行了4次乘法。

模仿這樣的過程，咱們獲得一個在O(lgn)時間內計算出冪的算法，也就是快速冪。

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遞歸快速冪

剛剛咱們用到的，無非是一個二分的思路。咱們很天然地能夠獲得一個遞歸方程：

$$ a^n = \begin{cases} a^{n-1}·a,\quad if\ n\ is\ odd \\ a^{\frac{n}{2}}·a^{\frac{n}{2}},\quad if\ n\ is\ even\ but\ not\ 0 \\ 1,\quad if\ n\ =\ 0 \\ \end{cases} $$

計算a的n次方，若是n是偶數（不爲0），那麼就先計算a的n/2次方，而後平方；若是n是奇數，那麼就先計算a的n-1次方，再乘上a；遞歸出口是a的0次方爲1。

遞歸快速冪的思路很是天然，代碼也很簡單（直接把遞歸方程翻譯成代碼便可）：

//遞歸快速冪
    int qpow(int a, int n) {
        if (n == 0)
            return 1;
        else if ((n & 1) == 1)
            return qpow(a, n - 1) * a;
        else {
            int temp = qpow(a, n / 2);
            return temp * temp;
        }
    }

注意，這個temp變量是必要的，由於若是不把a^(n/2)記錄下來，直接寫成qpow(a, n /2)*qpow(a, n /2)，那會計算兩次a^(n/2)，整個算法就退化爲了 O(n)。

在實際問題中，題目經常會要求對一個大素數取模，這是由於計算結果可能會很是巨大，可是在這裏考察高精度又沒有必要。這時咱們的快速冪也應當進行取模，此時應當注意，原則是步步取模。

//遞歸快速冪（對大素數取模）
    int qpow(int a, int n, int mod) {
        if (n == 0)
            return 1;
        else if ((n & 1) == 1)
            return qpow(a, n - 1, mod) * a % mod;
        else {
            int temp = qpow(a, n / 2, mod) % mod;
            return temp * temp % mod;
        }
    }

你們知道，遞歸雖然簡潔，但會產生額外的空間開銷。咱們能夠把遞歸改寫爲循環，來避免對棧空間的大量佔用，也就是非遞歸快速冪。

非遞歸快速冪

咱們先看代碼，再來仔細推敲這個過程：

//非遞歸快速冪
int qpow(int a, int n) {
    int ans = 1;
    while (n > 0) {
        //若是n的當前末位爲1
        if ((n & 1) == 1) {
            //ans乘上當前的a
            ans *= a;
        }
        //a自乘
        a *= a;
        //n往右移一位
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

最初ans爲1，而後咱們一位一位算：

1010的最後一位是0，因此 a^1 這一位不要。而後1010變爲101，a變爲 a^2。

101的最後一位是1，因此 a^2 這一位是須要的，乘入ans。101變爲10，a再自乘。

10的最後一位是0，跳過，右移，自乘。

而後1的最後一位是1，ans再乘上 a^8。循環結束，返回結果。

這裏的位運算符，>>是右移，表示把二進制數往右移一位，至關於/2；&是按位與，&1能夠理解爲取出二進制數的最後一位，至關於%2==1。這麼一等價，是否是看出了遞歸和非遞歸的快速冪的關係了？雖然非遞歸快速冪由於牽扯到二進制理解起來稍微複雜一點，但基本思路其實和遞歸快速冪沒有太大的出入。