排序算法（一）：堆排序

前言

堆（二叉堆）是一種用於實現優先隊列模型的數據結構，堆具備堆序（heap order）性，每一個節點的關鍵字都大於他的父節點的只有根除外（沒有父親），也能夠是都小於，子節點與父節點的關係決定了這個堆是最小堆仍是最大堆，分別能夠用來作升序和降序。使用優先隊列理論上能夠實現花費O(N log N)時間的排序。

方法

對一個數組進行升序的排列，能夠先將數組中的N個元素創建一個二叉堆，這個操做花費O(N)時間，而後對該堆執行N此DeleteMin操做。堆中的數據按照從小到大依次離開堆，將這些元素記錄到第二個數組中，最後再拷貝回來，以此獲得了針對N個元素的排序。每一個DeleteMin操做花費了O(log N)的時間，所以總開銷是O(N log N)。
注意到咱們這裏使用了一個額外的數組，空間開銷加大了（將第二個數組數據拷貝回來只花費O(N)，不會顯著增長時間消耗）。
雖然咱們在程序中經常爲了節省時間開銷而消耗額外的空間，但在這個問題中有個方法能夠避免。在每次DeleteMin操做以後，堆縮小了1，，所以堆中最後的單元能夠用來存放剛剛刪去的元素。

DeleteMin（刪除最小元）

這是在排序中重點須要的基本堆操做，要找到須要刪除的元素很容易，難的是刪除，當刪除一個最小元時，在根節點產生了一個空穴，爲了保證堆的性質，必需將堆中最後一個元素X移動，若是它能夠移動到空穴，那麼DeleteMin完成，不過這通常不太可能，所以咱們將空穴的兩個子節點中較小的一個移入空穴，至關於把空穴往下移動了一層，不斷重複這個過程直到X能夠被放到空穴。這種策略被稱做下濾。
最小堆與最大堆具備對稱的性質，對於父節點大於子節點的最大堆，區別只是每次刪除的是最大元，上移的是空穴子節點中較大的，與最小堆相反。

圖片演示

代碼

#define LeftChild(i) (2 * (i) + 1)

void PercDown(ElementType A[], int i, int N) {
    int Child;
    ElementType Tmp;
    
    for (Tmp = A[i]; LeftChild(i) < N; i = Child) {
        Child = LeftChild(i);
        if (Child != N - 1 && A[Child + 1] > A[Child])
            Child++;
        if (Tmp < A[Child])
            A[i] = A[Child];
        else
            break;
    }
    A[i] = Tmp;
}

void Heapsort(ElementType A[], int N) {
    int i;
    
    for (i = N / 2; i >= 0; i--)
        PercDown(A, i, N);
    for (i = N - 1; i > 0; i--) {
        Swap(&A[0], &A[i]);
        PercDown(A, 0, i);
    }
}