省選一輪

時間 2019-11-11

標籤一輪简体版

原文原文鏈接

拉格朗日差值

最小樹形圖

二項式反演

BSGS

最小割樹

虛樹

boruvka

$1.0/1$串也能夠黑白染色。函數

$2.$ 在平面圖中，老是知足： $V-E+F=1+C$（$F$是面數，$C$是聯通塊數）。ui

$3.S\bigcap T = \emptyset\Leftrightarrow S\subseteq \complement_uT$spa

$4.$差分表第$0$條對角線爲$c_1,c_2,c_3,\cdots c_k,0,0,\cdots$，那麼通項爲$h_n=\sum_{i=0}^k c_i{n\choose i}$, 前綴和爲$\sum_{i=1}^nh_i=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^kc_j{i\choose j}=\sum_{j=0}^kc_j\sum_{i=1}^n{i\choose j}=\sum_{j=0}^kc_j{n + 1\choose j + 1}$排序

$5.$點分治處理聯通塊問題：強制每次都通過分治中心。class

$6.\Theta(1)$快速乘：$a % p = a - \lfloor \frac a p \rfloor\times p $基礎

$7.$經過交換對$0/1$序列排序：倍增法。循環

$8.$矩陣樹定理。gc

$9.$全幺模矩陣：只有$0,1,-1$；每列至多兩個非零數；若是一列包含兩個非零數，他們相同則這兩行不在一個集合，不一樣則在一個集合，最後能夠劃分紅兩個合法的行集合。這樣的矩陣通過初等變換仍是全幺模矩陣。方法

$10.\sum_{i=1}^n\lfloor\frac n i\rfloor = \sum_{i=1}^n \sigma(i)$im

$11.\sum_{gcd(i,n)=1}i=\frac{\varphi(n)n}2$

$12.\varphi(n)=n\prod_{p|n,p~is~prime}\frac{p-1}p$

$13.$ 當 $F(x)$是二次函數，$\int F(x)=\frac{(r-l)}{6}[F(r)+F(l)+4F(\frac{l+r}2)]$

$14.$在$\%p$意義下，$1-p-1$逆元互不相同。

$15.$ 與 $n$互質的數每$n$個一循環，$\gcd(i,n)=1\Leftrightarrow\gcd(i+n,n)=1$

$16.(x+1)^p=x^p+1$

$17.\mu^2(i)=\sum_{d^2|i}\mu(d)$

$18.$兩個不一樣的數的$\gcd$不會超過兩個數的差。

$19.$在$xor$意義下，全部環均可以被簡單環（dfs樹上的非樹邊或dfs不走當前棧上的點）組成。

$20.$兩棵樹相連，新樹重心在原來兩個重心之間的路徑上。

$21.$一棵樹加/刪一個點，重心只移動一條邊。

$22.\gcd(i,j)=\sum_{d|\gcd(i,j)}\varphi(d)$

$23.I[\gcd(i,j)=1]=\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)$

$24.$對於詢問修改等操做分塊，平均複雜度。

$25.$在dfs序上建主席樹，解決子樹/鏈問題。

$26.beatty$數列。

$27.x^k=\sum_{i=0}^{x~or~k}{x\choose i}i!S_2(k,i)$

$28.$已知$ab/ba,bc/cb$ 能夠獲得 $ac$，這樣的問題有傳遞性，考慮最小生成樹。

$29.xy$是徹底平方數，$yz$是徹底平方數，那麼$xz$也是徹底平方數。

$30.$圖的最短路圖也是DAG，DAG求割邊當無向圖作。

$31.$子樹在$dfs$序/括號序中表明一段區間。

$32.$拓撲圖統計路徑的方法：把圖斷成兩部分，只有左部向右部的連邊，路徑分三種：左部本身的，右部本身的，跨過斷層的。

$33.$用當前圖案爲單位拼基礎圖案$\Leftrightarrow$用基礎圖案代替每一個單位。

$34.$在$\%2$意義下，$+-$都變成$xor$。

$35.n$個點的虛樹，按照$dfs$序排序，邊數$=\frac{\sum_idis(p_i,p_{i\%n+1})}{2}$

$36.$一個排列能夠當作是一個置換，$i->p_i$連邊，$p_{p_i}$就是走兩步，結果奇環改變順序，偶環變成兩個。

$37.g$存在條件：$p=q^a,2q^a,2,4$（$q$是奇素數）；$\forall p_i,g^{\frac{\varphi(p)}{p_i}}\ne 1(mod~p)$

$38.$
\[a^c\equiv {\begin{cases}a^{c\%\varphi(p)}&\gcd(a,p)=1\\a^c&\gcd(a,p)\ne1,c<\varphi(p)\\a^{c\%\varphi(p)+\varphi(p)}&\gcd(a,p)\ne1,c\ge\varphi(p)\end{cases}}\]

$39.\sum_{i=0}^n {n\choose i}{m\choose k-i}={n+m\choose k}$

$40.\sum_{i=0}^n{n\choose i}^2={2n\choose n}$

$41.\sum_{i=0}^k{n+i-1\choose i}={n+k\choose k}$

$42.\sum_{i=0}^ni{n\choose i}x^i=n(1+x)^{n-1}$

$43.\sum_{i=1}^n{i\choose m}={n+1\choose m+1}$（$m=0$要減一）

$44.-2ij={i\choose 2}{j\choose 2}{i+j\choose 2}$

$45.{n\choose m}=\prod_{i=1}^m\frac{n+1-i}{i}$