高等數學——手撕牛頓萊布尼茨公式

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今天是高等數學專題的第13篇文章，咱們來看看定積分究竟應該怎麼計算。

定積分的實際意義

經過以前的文章，咱們基本上熟悉了定積分這個概念和它的一些簡單性質，今天終於到了正題，咱們要試着來算一算這個積分了。

咱們先來回憶一下對定積分的直觀感覺，它能夠表明一段曲形面積，好比：

若是咱們把上圖當中的f(x)當作是速度函數，x軸當作是時間，那麼f(x)就表示時刻x時物體運動的速度。那麼咱們把全部瞬時移動的距離累加，就獲得了物體在某個時間段內的位移矢量，而這個位移長度剛好就是咱們曲形的面積。咱們把定積分和物理上的位移進行掛鉤以後，很容易得出一個結論，在物理學上，一個物體發生的位移和時間也是一一映射的關係，因此這也是一個函數。

有了這個結論以後，咱們就能夠作一個假設，假設一個函數s(t)知足：

\[s(t) = \int_a^t f(t)dt \]

其中的a是一個定值，咱們能夠認爲是位移發生的起始時刻，s(t)就是物體位移和時間的函數。因此a到b這段時間內發生的位移就等於\(s(b) - s(a) = \int_a^b f(t)dt\).

計算推導

當咱們把定積分和物理位移掛鉤的時候，咱們距離求解它已經很接近了。

根據物理上的定義，物體的運動速度其實就等於位置矢量隨時間的變化率，雖然不夠嚴謹，但其實這是一個微份量，能夠近似當作是位移函數的導數。固然這個只是直觀的認識，咱們還須要用嚴謹的數學語言來表達。

咱們假設f(x)函數在區間[a, b]上連續，而且\(\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt, (a \leq x \leq b)\)，咱們試着證實\(\Phi'(x) = f(x)\)。

咱們取一個絕對值足夠小的\(\Delta x\)，使得\(x + \Delta x \in (a, b)\)，那麼：

\[\Phi(x + \Delta x) = \int_a^{x+\Delta x}f(t)dt \]

咱們用它減去\(\Phi(x)\)，獲得：

\[\begin{aligned} \Delta \Phi &= \Phi(x+\Delta x) - \Phi(x) \\ &= \int_a^{x+\Delta x} f(t)dt - \int_a^x f(t)dt\\ &= \int_x^{x+\Delta x}f(t)dt \end{aligned} \]

根據咱們積分中值定理，能夠獲得，存在\(\xi \in (x, x+\Delta x)\)，使得：

\[\begin{aligned} \Delta \Phi &= f(\xi) \Delta x\\ \frac{\Delta \Phi}{\Delta x} &= f(\xi) \end{aligned} \]

因爲f(x)在[a, b]上連續，而且\(\Delta x\to 0\)，因此\(\xi \to x\)，所以\(\lim_{\Delta x \to 0} f(\xi) = f(x)\)，進一步就證實了\(\Phi(x)\)的導數存在，而且：

\[\Phi'(x) = f(x) \]

到這裏已經距離咱們的目標很是接近了，只差最後一步。這最重要的一步有兩個數學大牛對它聲明主權，一個是牛頓，另外一個是萊布尼茨。這也是數學界一樁很是出名的公案，這背後的故事背景很是複雜，屬於典型的公說公有理婆說婆有理的橋段。有一部著名的紀錄片叫作《一部微積分的恩怨史》講的就是這一段故事，感興趣的同窗能夠去B站圍觀一下。

爲了不引戰，不少課本上都把它叫作牛頓-萊布尼茨公式，用兩我的的名字共同命名。

牛頓-萊布尼茨公式

根據原函數的定義，從上面的結論當中咱們能夠獲得\(\Phi(x)\)是函數\(f(x)\)在[a, b]上的一個原函數。咱們假設F(x)也是f(x)的一個原函數，因此咱們能夠知道\(F(x) - \Phi(x) = C\)，這裏的C是一個常數。

令x = a，那麼能夠獲得\(F(a) - \Phi(a) = C\)，根據\(\Phi(x)\)的定義，咱們能夠知道\(\Phi(a) = 0\)，因此\(F(a) = C\)，而且\(\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt\)，代入能夠獲得：

\[\begin{aligned} F(x) - \Phi(x) &= C\\ F(x) - \int_a^x f(t)dt &= F(a)\\ \int_a^x f(t)dt &= F(x) - F(a) \end{aligned} \]

咱們把b代入，能夠獲得\(\int_a^x f(x)dx = F(b) - F(a)\)，這個式子就是牛頓萊布尼茨公式。

咱們回顧一下上面的推導過程，難度並不大，可是幾個代換處理很是巧妙，否則的話即便咱們能夠獲得結論，也並不嚴謹。

總結

有了定積分的計算公式以後，不少咱們以前沒法解決的問題就均可以解決了，由此奠基了整個微積分的基礎，不只推進了數學的發展，也帶動了理工科幾乎全部的學科。在各大理工學科之中幾乎都有用到微積分進行一些複雜的計算，即便是看起來和數學不那麼相關的計算機領域也不例外，這也是大學裏爲何給全部理工科的學生開設了這門課的緣由。

但遺憾的是，在咱們學習的時候每每很難預見它的重要性，然而當咱們預見這一點的時候，每每已是不少年以後，沒有那樣的環境和時間給咱們去好好學習了。

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