擴展歐幾里德算法

提到擴展歐幾里德算法，先簡要介紹下歐幾里德算法，又稱展轉相除法，用於計算兩個整數a和b的最大公約數（Greatest Common Divisor(GCD)）。

爲證實gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)，只需證實
　　(1)gcd(a,b) | gcd(b,a mod b)
　　　　設d=gcd(a,b) 則d|a且d|b
　　　　a mod b=a-qb (設q=[a/b])
　　　　由d|ax+by 則d|a mod b
　　　　因此d| gcd(b,a mod b)
　　(2)gcd(b,a mod b) | gcd(a,b)
　　　　設d=gcd(b,a mod b)
　　　　則d|b且d|a mod b
　　　　a=qb+(a mod b) (q=[a/b])
　　　　得d|a
　　因此d|gcd(a mod b)

求解a和b的最大公約數中，a能夠表示爲kb+r，則r =a mod b，假設d是a和b的一個公約數，則有d|a，d|b，r = a - kb,所以d|r（由於d是a的約數，又是b的約數，因此也是他們的多項式的約數）,因此d是(b,a mod b)的公約數。因此在這不斷代換中，a 必然＞ｂ，每次將ａ換成ｂ，ｂ換成ａmod b, a ,b 不斷減少。直到b爲0時，此時a爲他們的最大公約數。

1 int euclid(int a,int b)   
2 {   
3       if (b==0)
4           return a;   
5       else  
6           return euclid(b,a%b);   
7 } 

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而擴展歐幾里德算法是用來求解已知a，b，求一組x，y使得a * x + b * y =Gcd(a,b)(這個解必定存在，數論定理)

由於Gcd(a,b)=Gcd(b,a%b),因此a * x + b * y = Gcd(a,b) = Gcd(b,a%b)。得b * x + (a%b)*y = b * x + (a - a/b*b)*y,這裏的((a - a/b*b)*y)不可貴出，以前是a%b。如今我想獲得這個數，怎麼來呢。首先a/b，獲得一個整數，在a！=b的狀況下，這個整數再乘以b以後是不等於a的。因此餘數就是這裏的差值。即a - a/b*b。若是a==b，那麼Gcd==a==b。繼續，b * x + (a%b)*y = b * x + (a - a/b*b)*y。展開得b*x + a*y - a/b*b*y，合併得a*y + b*(x-a/b*y).這樣，由於a，b都在減少，當b=0時，能夠得出x=1,y=0，此時遞歸回去能夠求出x，y。

 1 int extended_gcd(int a, int b, int &x, int &y) 
 2 {
 3     int ret, tmp; 
 4     if (!b) 
 5     {
 6         x = 1;
 7         y = 0;
 8         return a;  
 9     } 
10         ret = extended_gcd(b, a % b,x, y); 
11     tmp = x;
12     x = y; 
13     y = tmp - a / b * y;
14     return ret; 
15 } 
16     

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 對於方程a * x + b * y=c，該方程等價於a*c ≡ c(mod b);有整數解的充要條件是 c % gcd(a,b)==0。(定理)

因此方程 a*x+b*y=n；咱們能夠先用擴展歐幾里德算法求出一組x0,y0。即 a * x0 + b * y0 = Gcd(a,b)；

而後兩邊同時除以Gcd(a,b) ，再乘以n。這樣就獲得了方程   ：a * x0 * n / Gcd(a,b) + b * y0 * n / Gcd(a,b) =n；從而求出一個解

經過擴展歐幾里德求的是ax + by = Gcd(a, b)的解，令解爲(x0, y0)，代入原方程，得：ax0 + by0 = Gcd(a, b)，
若是要求ax + by = c = Gcd(a, b)*c'，能夠將上式代入，得：                                                        
ax + by = c = (ax0 + by0)c'，則x = x0c', y = y0c'， c' = c / Gcd(a,b)
這裏的(x, y)只是這個方程的其中一組解，x的通解爲 { x0c' + k*b/Gcd(a, b) | k爲任意整數 }，y的通解能夠經過x通解的代入得出

若gcd(a,b)=1，即a、b互質，且x0,y0爲a*x+b*y=n的一組解，則該方程的任一解可表示爲：x=x0+b*t，y=y0-a*t；且對任一整數t，皆成立。
這樣咱們就能夠求出方程的全部解了，但實際問題中，咱們每每被要求去求最小整數解，因此咱們就能夠將一個特解x。令t=b/gcd(a,b)=1，特解x=(x%t+t)%t；

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青蛙的約會   、 C Looooops   、The Balance  、Business Center  、 Comfort