【LOJ#6485】LJJ 學二項式定理（單位根反演）

【LOJ#6485】LJJ 學二項式定理（單位根反演）

題面

LOJ

題解

顯然對於\(a0,a1,a2,a3\)分開算答案。
這裏以\(a0\)爲例
\[\begin{aligned} Ans&=\frac{1}{4}a_0\sum_{i=0}^n [4|i]{n\choose i}s^i\\ &=\frac{1}{4}a_0\sum_{i=0}^n{n\choose i}s^i\sum_{j=0}^3 (\omega_4^{j})^i\\ &=\frac{1}{4}a_0\sum_{j=0}^3\sum_{i=0}^n {n\choose i}s^i(\omega_4^j)^i\\ &=\frac{1}{4}a_0\sum_{j=0}^3(s\omega_4^j+1)^n \end{aligned}\]
另外幾個只須要把\([4|i]\)變成\([4|(i+k)]\)的形式，而後在計算的時候把\(\omega_4^k\)給提取出來就好了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
#define MOD 998244353
inline ll read()
{
    ll x=0;bool t=false;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return t?-x:x;
}
int fpow(int a,ll b){int s=1;while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}return s;}
int s,a[4],w,ans;ll n;
int main()
{
    int T=read();w=fpow(3,(MOD-1)/4);
    while(T--)
    {
        n=read();s=read();ans=0;
        for(int i=0;i<4;++i)a[i]=read();
        for(int i=0;i<4;++i)
            for(int j=0,t=s,ww=1;j<4;++j,t=1ll*t*w%MOD,ww=1ll*ww*w%MOD)
                ans=(ans+1ll*a[i]*fpow(t+1,n)%MOD*fpow(ww,4-i))%MOD;
        ans=1ll*ans*fpow(4,MOD-2)%MOD;
        printf("%d\n",ans);
    }
}