單位根反演

單位根反演

看起來原來是寫過一次這道題目的。
然而歷來沒有想過爲何。
因此來從頭算一算QwQ。
式子是這樣的：
\[\forall k,[n|k]=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ik}\]
簡單的證實：
首先當\([n|k]\)的時候，\(\omega_n^{ik}=\omega^0=1\)，因此原式等於\(1\)。
不然是一個等比數列求和，\(\displaystyle \frac{1}{n}\frac{\omega_n^{nk}-\omega_n^0}{\omega_n^k-1}=0\)。

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加入咱們要算某個多項式的特定倍數的係數和。
也就是要求這個：\(\displaystyle \sum_{i=0}^{[\frac{n}{k}]}[x^{ik}]f(x)\)
那麼咱們來推推式子：
\[\begin{aligned} \sum_{i=0}^{[\frac{n}{k}]}[x^{ik}]f(x)&=\sum_{i=0}^n[k|i][x^i]f(x)\\ &=\sum_{i=0}^n [x^i]f(x)\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\omega_{k}^{ji}\\ &=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^n a_i\sum_{j=0}^{k-1}\omega_{k}^{ij}\\ &=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\sum_{i=0}^n a_i(\omega_k^j)^i\\ &=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}f(\omega_{k}^j) \end{aligned}\]