淺談數據結構-二叉樹

時間 2019-11-12

標籤淺談數據結構二叉樹欄目應用數學简体版

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二叉樹是樹的特殊一種，具備以下特色：一、每一個結點最多有兩顆子樹，結點的度最大爲2。二、左子樹和右子樹是有順序的，次序不能顛倒。三、即便某結點只有一個子樹，也要區分左右子樹。spa

1、特殊的二叉樹及特色

一、斜樹

全部的結點都只有左子樹（左斜樹），或者只有右子樹（右斜樹）。這就是斜樹，應用較少code

二、滿二叉樹

全部的分支結點都存在左子樹和右子樹，而且全部的葉子結點都在同一層上，這樣就是滿二叉樹。就是完美元滿的意思，關鍵在於樹的平衡。blog

根據滿二叉樹的定義，獲得其特色爲：繼承

葉子只能出如今最下一層。
非葉子結點度必定是2.
在一樣深度的二叉樹中，滿二叉樹的結點個數最多，葉子樹最多。

三、徹底二叉樹

對一棵具備n個結點的二叉樹按層序排號，若是編號爲i的結點與一樣深度的滿二叉樹編號爲i結點在二叉樹中位置徹底相同，就是徹底二叉樹。滿二叉樹必須是徹底二叉樹，反過來不必定成立。遞歸

其中關鍵點是按層序編號，而後對應查找。get

在上圖中，樹1，按層次編號5結點沒有左子樹，有右子樹，10結點缺失。樹2因爲3結點沒有字數，是的6,7位置空擋了。樹3中結點5沒有子樹。it

上圖就是一個徹底二叉樹。class

結合徹底二叉樹定義獲得其特色：二叉樹

葉子結點只能出如今最下一層（滿二叉樹繼承而來）
最下層葉子結點必定集中在左部連續位置。
倒數第二層，若有葉子節點，必定出如今右部連續位置。
一樣結點樹的二叉樹，徹底二叉樹的深度最小（滿二叉樹也是對的）。

根據下圖加深理解，何時是徹底二叉樹。循環

3、二叉樹性質

一、通常二叉樹性質

一、在非空二叉樹的i層上，至多有2^i-1個節點(i>=1)。經過概括法論證。

二、在深度爲K的二叉樹上最多有2^k-1個結點（k>=1)。經過概括法論證。

三、對於任何一棵非空的二叉樹,若是葉節點個數爲n₀，度數爲2的節點個數爲n₂，則有: n0 = n₂ + 1

在一棵二叉樹中，除了葉子結點（度爲0）以外，就剩下度爲2(n2)和1(n1)的結點了。則樹的結點總數爲T = n0+n1+n2;在二叉樹中結點總數爲T，而連線數爲T-1.因此有：n0+n1+n2-1 = 2*n2 +n1;最後獲得n0 = n2+1;

上圖中結點總數是10，n2爲4，n1爲1，n0爲5。

二、徹底二叉樹性質

a、具備n的結點的徹底二叉樹的深度爲log₂n+1.

滿二叉樹是徹底二叉樹，對於深度爲k的滿二叉樹中結點數量是2^k-1 = n，徹底二叉樹結點數量確定最多2^k-1,同時徹底二叉樹倒數第二層確定是滿的（倒數第一層有結點，那麼卻是第二層序號和滿二叉樹相同），因此徹底二叉樹的結點數最少大於少一層的滿二叉樹，爲2^k-1-1。

根據上面推斷得出： 2^k-1-1< n=<2^k-1，由於結點數Nn爲整數那麼n<=2^k-1能夠推出n<=2^k,n>2^k-1-1能夠推出 n>=2^k-1,因此2^k-1<n<=2^{k 。}便可得k-1<=log₂n<k 而k做爲整數所以k=[log₂n]+1。

b、若是有一顆有n個節點的徹底二叉樹的節點按層次序編號，對任一層的節點i（1<=i<=n）有

1.若是i=1，則節點是二叉樹的根，無雙親，若是i>1，則其雙親節點爲[i/2]，向下取整

2.若是2i>n那麼節點i沒有左孩子，不然其左孩子爲2i

3.若是2i+1>n那麼節點沒有右孩子，不然右孩子爲2i+1

在上圖中驗證

第一條：

當i=1時，爲根節點。當i>1時，好比結點爲7，他的雙親就是7/2= 3；結點9雙親爲4.

第二條：

結點6,6*2 = 12>10，因此結點6無左孩子，是葉子結點。結點5，5*2 = 10，左孩子是10,結點4，爲8.

第三條：

結點5，2*5+1>10,沒有右孩子，結點4，則有右孩子。

4、二叉樹遍歷

二叉樹遍歷：從樹的根節點出發，按照某種次序依次訪問二叉樹中全部的結點，使得每一個結點被訪問僅且一次。

這裏有兩個關鍵詞：訪問和次序。

一、前序遍歷

基本思想：先訪問根結點，再先序遍歷左子樹，最後再先序遍歷右子樹即根—左—右。

圖中前序遍歷結果是：1，2，4，5，7，8，3，6。

a/前序遞歸遍歷的代碼實現，以下所示

//前序遞歸遍歷
void PreOrderTraverse(BiTree t)
{
  //注意跳出條件
    if(t != NULL)
    {
       //注意訪問語句順序
        printf("%c ", t->data);
        PreOrderTraverse(t->lchild);
        PreOrderTraverse(t->rchild);
    }
}

前序非遞歸遍歷:

對於任一結點p：

a. 訪問結點p，並將結點p入棧；

b. 判斷結點p的左孩子是否爲空，若爲空，則取棧頂結點並進行出棧操做，並將棧頂結點的右孩子置爲當前的結點p，循環置a；若不爲空，則將p的左孩子置爲當前結點p；

c. 直到p爲空，而且棧爲空，則遍歷結束。

//前序非遞歸遍歷
int NoPreOrderTraverse(BiTree t)
{
    SqStack s;
    InitStack(&s);
 
    BiTree tmp = t;
    if(tmp == NULL)
    {
        fprintf(stdout, "the tree is null.\n");
        return ERROR;
    }
   //現將左子樹壓入棧，當到葉子結點後，出棧，獲取右子樹，而後在壓入右子樹的左子樹。
  //順序不能變
    while((tmp != NULL) || (IsEmpty(&s) != 1)) 
    {
        while(tmp != NULL)
        {
            Push(&s, tmp);
            printf("%c ", tmp->data);
            tmp = tmp->lchild;
        }
        if(IsEmpty(&s) != 1)
        {
            Pop(&s, &tmp);
            tmp = tmp->rchild;
        }
    }
     
    return OK;
}

二、中序遍歷

基本思想：先中序遍歷左子樹，而後再訪問根結點，最後再中序遍歷右子樹即左—根—右。

圖中中序遍歷結果是：4，2，7，8，5，1，3，6。

中序遍歷迭代代碼

//中序遞歸遍歷
void InOrderTraverse(BiTree t)
{
    if(t != NULL)
    {
        InOrderTraverse(t->lchild);
        printf("%c ", t->data);
        InOrderTraverse(t->rchild);
    }
}

2）中序非遞歸遍歷

根據中序遍歷的順序，對於任一結點，優先訪問其左孩子，而左孩子結點又能夠看作一個根結點，而後繼續訪問其左孩子結點，直到遇到左孩子結點爲空的結點才中止訪問，而後按相同的規則訪問其右子樹。其處理過程以下：

對於任一結點：

a. 若其左孩子不爲空，則將p入棧，並將p的左孩子設置爲當前的p，而後對當前結點再進行相同的操做；

b. 若其左孩子爲空，則取棧頂元素並進行出棧操做，訪問該棧頂結點，而後將當前的p置爲棧頂結點的右孩子；

c. 直到p爲空而且棧爲空，則遍歷結束。

//中序非遞歸遍歷二叉樹
int NoInOrderTraverse(BiTree t)
{
    SqStack s;
    InitStack(&s);
     
    BiTree tmp = t;
    if(tmp == NULL)
    {
        fprintf(stderr, "the tree is null.\n");
        return ERROR;
    }
 
    while(tmp != NULL || (IsEmpty(&s) != 1))
    {
        while(tmp != NULL)
        {
            Push(&s, tmp);
            tmp = tmp->lchild;
        }
 
        if(IsEmpty(&s) != 1)
        {
            Pop(&s, &tmp);
            printf("%c ", tmp->data);
            tmp = tmp->rchild;
        }
    }
    return OK;
}

三、後序遍歷

基本思想：前後序遍歷左子樹，而後再後序遍歷右子樹，最後再訪問根結點即左—右—根。

圖中後序遍歷結果是：4，8，7，5，2，6，3，1。

後序遞歸遍歷代碼實現，以下所示。

//後序遞歸遍歷
void PostOrderTraverse(BiTree t)
{
    if(t != NULL)
    {
        PostOrderTraverse(t->lchild);
        PostOrderTraverse(t->rchild);
        printf("%c ", t->data);
    }
}

後序遍歷的非遞歸實現是三種遍歷方式中最難的一種。由於在後序遍歷中，要保證左孩子和右孩子都已被訪問，而且左孩子在右孩子以前訪問才能訪問根結點，這就爲流程控制帶來了難題。下面介紹一種思路。

要保證根結點在左孩子和右孩子訪問以後才能訪問，所以對於任一結點p，先將其入棧。若p不存在左孩子和右孩子，則能夠直接訪問它，或者p存在左孩子或右孩子，可是其左孩子和右孩子都已經被訪問過了，則一樣能夠直接訪問該結點。若非上述兩種狀況，則將p的右孩子和左孩子依次入棧，這樣就保證了每次取棧頂元素的時候，左孩子在右孩子以前別訪問，左孩子和右孩子都在根結點前面被訪問。

//後序非遞歸遍歷二叉樹
int NoPostOrderTraverse(BiTree t)
{
    SqStack s;
    InitStack(&s);
 
    BiTree cur;     //當前結點  
    BiTree pre = NULL;      //前一次訪問的結點
    BiTree tmp;
 
    if(t == NULL)
    {
        fprintf(stderr, "the tree is null.\n");
        return ERROR;
    }
 
    Push(&s, t);
    while(IsEmpty(&s) != 1)
    {
        GetTop(&s, &cur);//
        if((cur->lchild == NULL && cur->rchild == NULL) || (pre != NULL && (pre == cur->lchild || pre == cur->rchild)))
        {
            printf("%c ", cur->data);    //若是當前結點沒有孩子結點或者孩子結點都已被訪問過
            Pop(&s, &tmp);
            pre = cur;
        }
        else
        {
            if(cur->rchild != NULL)
            {
                Push(&s, cur->rchild);
            }
            if(cur->lchild != NULL)
            {
                Push(&s, cur->lchild);
            }
        }
    }
    return OK;
}

5、二叉樹的創建

其實而二叉樹的創建就是二叉樹的遍歷，只不過將輸入內容改成創建結點而已，好比，利用前序遍歷創建二叉樹

//建立樹
//按前後次序輸入二叉樹中結點的值(一個字符),#表示空樹
//構造二叉鏈表表示的二叉樹
BiTree CreateTree(BiTree t)
{
    char ch;
    scanf("%c", &ch);
 
    if(ch == '#')
    {
        t = NULL;
    }
    else
    {
        t = (BitNode *)malloc(sizeof(BitNode));
        if(t == NULL)
        {
            fprintf(stderr, "malloc() error in CreateTree.\n");
            return;
        }
 
        t->data = ch;                        //生成根結點
        t->lchild = CreateTree(t->lchild);    //構造左子樹
        t->rchild = CreateTree(t->rchild);    //構造右子樹
    }
    return t;
}