算法刷題（LeetCode：300、最長遞增子序列）

1、題目描述

　　給你一個整數數組 nums ，找到其中最長嚴格遞增子序列的長度。

　　子序列是由數組派生而來的序列，刪除（或不刪除）數組中的元素而不改變其他元素的順序。例如，[3,6,2,7] 是數組 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

　　來源：力扣（LeetCode）
　　連接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence

　　題目分析

　　　　如他的題目所描述，須要求出【最長遞增子序列】的【長度】。

　　　　幾個關鍵詞：最長、嚴格遞增、長度。

　　　　此處的嚴格遞增指：1,2,7,7的最長遞增子序列長度爲3，由於7和7相等，沒有遞增。

　　　　舉幾個例子：如{0,3,1,6,2,2,7}它的遞增子序列有：{0,3,6,7} ,{0,1,6,7}, {0,1,2,7}以及一些更短的遞增子序列，而咱們的目標就是求出這些子序列中長度的最大值。

2、用到的算法思想

　　我解這道題用到的有：【動態規劃】(Dynamic Programming 簡稱DP)。

　　解題方式並不惟一，不要侷限於一種方法。

3、思路

　　動態規劃解題四部曲（非準確）：找出原問題--->將原問題分解爲規模更小的子問題--->當規模小到必定程度時，答案出現或者很容易求出--->將小的問題合併成原來的問題。

　　一樣以數組 {0,3,1,6,2,2,7}爲例：

　　　　咱們能夠很容易的有一種思路，前6個數的最長遞增子序列，前5個數.........

　　　　驗證這種思路是否可行：

　　　　　　{0,3,1,6,2,2,7} 的最長子序列長度爲4，此時7在最長子序列當中。

　　　　在去掉7之後數組變爲

　　　　　　{0,3,1,6,2,2} 最長子序列爲3。說明7在最長子序列中，除去也不影響子問題的解。

　　　　再將最後的2一處數組，變爲：

　　　　　　{0,3,1,6,2} 最長子序列依舊爲3，說明除去的2不在最長子序列中，除去依舊不影響子問題的解。

　　　　......省略.....

　　　　因而可知，不管被移除數組的那一位是否在最長子序列中，都不影響子問題的解。所以，這個問題具備【最優子結構性質】。

　　　　因此，咱們已經無限接近答案了：

　　　　　　創建一個dp數組，長度爲【數組長度+1】。

　　　　　　初始化：dp[0] = 0; dp[i] = 1; (i = 1,2,3...n);

　　　　　　接着爲表中填入數據，從數組arr第1位開始：填入1；

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第2位：arr[1]與arr[0]比較，看arr[1]是否>arr[0]（便是否遞增），若是遞增，則判斷dp[i+1]和dp[i] + 1二者誰大。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第3位：同2，可是須要循環，直到數組下標爲0的位置.......

　　　　　　{0,3,1,6,2,2,7} 填入的最終dp數組應該爲: {0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4}。

　　　　須要注意的是：最大值不必定在dp數字最後一位，如：{0,3,1,6,2,2,7,0,0,0} 它最終的dp數組爲：{0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 1,1, 1}， 因此須要循環一次dp數組找出最大值。

4、代碼實現（Java）

class Solution { public int lengthOfLIS(int[] nums) { int[] dp = new int[nums.length+1]; dp[0] = 0; for(int i = 0; i < nums.length; i++){ dp[i+1] = 1; for(int j = i; j >= 0; j--){ if(nums[i] > nums[j]){ dp[i+1] = getMax(dp[j+1]+1, dp[i+1]); } } } int max = 0; for(int i = 0; i <= nums.length; i++){ if(dp[i] > max) max = dp[i]; } return max; } public int getMax(int m, int n){ return m > n ? m : n; } }

5、完成時間

　　　　2021-01-28　　15:48:57

　　　　最近幾天在研究動態規劃，刷了七八道題，漸漸地有了一些感受，但動態規劃也分好多種類，好比區間dp，揹包dp，樹形dp等等，須要多加努力。