判斷一個正整數是不是2的N次方的簡潔算法及其證實

在寫代碼時遇到了「判斷一個正整數是不是2的N次方」的問題，不想調用 java.lang 的 Math 類庫進行浮點運算，以爲轉換爲浮點不是個好辦法。

遂在網上搜索了一下，發現有人列出來好幾種寫法，列舉幾種：

一、經過循環除2；這種方法不值一提，略過；

二、針對32位/64位只有有限個 2 的N次方的常量值，逐個進行比較；額。。。這個也略過；

三、經過正則表達式進行文本匹配，判斷是否2的後面都是 0 ；這個繞得更遠了。。。

最後，有一種最簡潔優雅的寫法：(value & (value -1)) == 0;

喔，的確是簡潔優雅！！！

不過，等等，接下來有人提出，彷佛「全部2的N次方的結果都符合這個表達式」這點很容易證實；

但是如何證實符合條件「(value & (value -1)) == 0」的必定就是 2 的 N 次方呢？（N 是整數且大於等於0）。

想了一下，證實也不難，遂在此記下：

一、首先，記 A = value； B = value - 1；

二、既然 A & B == 0，那麼意味着，A和B的二進制形式中，每一位都不相同；（例外的狀況只有「二者都是 0」 ，不然存在相同位的兩個數的按位相與的結果不可能爲 0）

三、因爲 B = A - 1，即  A > B；基於第2點，A 和 B 每一位都不一樣，則能夠推斷出只有兩種狀況：

　　（1）以二進制形式， A 最高位 1 與 B 的最高位 1 的位數相差 1 ；(x表示後面跟隨的位數是 0 位到多位)

　　　　　A: 10xxxxxxx  
　　　　　B: 01xxxxxxx

　　（2）第二種狀況就是：A = 1，B = 0；

　　顯然第二種狀況是符合命題的，由於 N = 0 ，2 的 N 次方的結果爲 1 ; 接下來繼續針對第一種狀況作推導。

四、因爲 A 與 B 僅相差1，那意味着在 B 的二進制的末尾加上 1 ，將會連續地向高位產生進位，最終致使 B 的最高位 01 進位爲 10 ；

　　注意，二進制形式中，可以「連續向高位產生進位」的狀況只有一種，即 xxxxxxx 所有都是 1 ，也就是說 B 的所有是 1 ; 

　　由此，基於第2點，A 和 B 的每一位都不一樣，那麼 A 除了最高位 1 以外，全部低位都是 0 ；

由此證得命題！