數論TIPS(Loading...)

　　1.一個數的約數和=(1+p1+p1²+...+p1^c1)*(1+p2+p2²+...+p2^c2)*...*(1+pk+pk²+...+pk^ck)（p爲這個數的各個質因數，c表示爲各個質因數的次方，k表示質因數個數）

　　2.求一個數的質因數只須要O(sqrt(n))的時間複雜度，先篩出素數，而後將原數除去小素數，若是原數最後不爲1，那麼這個數確定也是素數

　　3.相鄰的數交換使得最終成爲上升序列，交換的次數爲逆序對數

　　4.費馬小定理：若p爲質數，則$a^{p}≡a(mod\;p)$

　　5.歐拉定理：若正整數a,n互質，則$a^{\phi(n)}≡1(mod\;n)$

　　6.一個正整數n，設它其中一個約數爲p，那麼gcd(i,n)==p的有$\phi(n/p)$個

　　7.歐拉定理推論：若正整數a,n互質，則對於任意正整數b，有$a^{b}≡a^{b\;mod\;\phi(n)}(mod\;n)$

　　8.乘法逆元：若整數b,p互質，而且b|a，則存在一個整數x，使得a/b≡a*x(mod p)，則稱x爲b的模p乘法逆元，當模數p爲質數時，b^p-2即爲b的乘法逆元，也就是b^-1≡b^p-2(mod p)

　　9.中國剩餘定理(crt)：設m₁,m₂,...,m_n是兩兩互質的整數，$m=\prod_{i=1}^{n}m_{i}$，M_i=m/m_i，t_i是線性同餘方程M_it_i≡1(mod m_i)的一個解,對於任意的n個整數a₁,a₂,...,a_n，方程組：x≡a₁(mod m₁),x≡a₂(mod m₂),...,x≡a_n(mod m_n)，有整數解，且解爲$x=\sum_{i=1}^{n}a_{i}M_{i}t_{i}$

　　10.二項式定理：$(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{k}b^{n-k}$

　　11.Lucas定理：若p是質數，則對於任意整數1<=m<=n，有：$C_{n}^{m}=C_{n\;mod\;p}^{m\;mod\;p}*C_{n/p}^{m/p}(mod\;p)$

　　12.Catalan數列：給定n個0，n個1，他們按照某種順序排成長度爲2n的序列，知足任意前綴中0的個數都很多於1的個數的序列的數量爲$Cat_{n}=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}$

　　　　Catalan數推論：

　　　　(1).n個左括號和n個右括號組成的合法括號序列的數量爲Cat_n

　　　　(2).1,2,...,n通過一個棧，造成的合法出棧序列的數量爲Cat_n

　　　　(3).n個節點構成的不一樣二叉樹的數量爲Cat_n

　　　　(4).在平面直角座標系上，每一步只能向上或向右走，從(0,0)走到(n,m)而且除兩個端點外不接觸直線y=x的路線數量爲2Cat_n-1

　　13.莫比烏斯函數的性質：

　　　　(1).對於一個數d，若是d=1，$\mu(d)=1$，若是d爲互異質數p₁p₂p₃...p_k的乘積，則$\mu(d)=(-1)^{k}$，不然$\mu(d)=0$

　　　　(2).$\sum_{d|x}\mu(d)=[x==1]$

　　　　(3).對於任意正整數n有：$\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}$

　　　　(4).$\sum_{d|x}\phi(d)=x$

　　　 莫比烏斯反演：

　　　　(1).若是存在函數F(x)和f(x),知足$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$，則能夠獲得$f(n)=\sum_{d|n} \mu(d)F(\frac{n}{d})$

　　　　(2).若是存在函數F(x)和f(x),知足$F(n)=\sum_{n|d}f(d)$，則能夠獲得$f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)$

　　14.序列錯排求解：對於一個長度爲n的序列，n個數互不相同且均爲1到n的數，使得一個序列中第i個位置都不等於i的序列數量爲$D(n)$。令$D(0)=1,D(1)=0$，得$D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2))$

　　15.對於一個n*m的圖，只能向右或向下行走，從左上角走到右下角的方案數爲$C_{n+m-2}^{n-1}$

　　16.快速求天然數冪和$\sum_{i=1}^{n}i^{k}\mod p$的幾種方法

　　　　(1).差分表，$S(n,k)=\sum_{i=1}^{n}i^{k}$

　　　　　　公式：$S(n,k)=\frac{1}{k+1} \left( (n+1)^{k+1}-n-1-\sum_{i=2}^{k}C_{k+1}^{i}S(n,k-i+1) \right )$

　　　　　　複雜度：$O(k^{2})$

　　　　(2).伯努利數，$B_{0}=1$

　　　　　　由於$\sum_{j=0}^iC_{i+1}^jB_j=0$

　　　　　　因此$B_i=-\frac{1}{i+1}\sum_{j=0}^{i-1}C_{i+1}^{j}B_j$

　　　　　　公式：$\sum_{i=1}^{n}i^k={1\over{k+1}}\sum_{i=1}^{k+1}C_{k+1}^i*B_{k+1-i}*(n+1)^i$

　　　　　　複雜度：$O(Tk)$T爲數據組數

　　17.1到x中，與x互質的數的和爲$\frac{\phi(x)*x}{2}$，特殊的，當x=1時，數和爲0

　　18.等比數列$\S_{n}=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$,$S_n$爲前n項的和，$a_1$爲首項，$q$爲公比