求一個數能由幾個徹底平方數相加獲得 Perfect Squares

問題：

Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, ...) which sum to n.

For example, given n = 12, return 3 because 12 = 4 + 4 + 4; given n = 13, return 2 because 13 = 4 + 9.

解決：

① 給定一個正整數，求它最少能由幾個徹底平方數組成。本解法找到一個規律。

【四平方和定理】任意一個正整數都可表示爲4個之內的平方數之和。

class Solution { //2ms
    public int numSquares(int n) {
        while(n % 4 == 0) n /= 4;
        if (n % 8 == 7) return 4;
        for (int i = 0;i * i <= n;i ++){
            int j = (int) Math.sqrt(n - i * i);
            if (i * i + j * j == n){
                return (i > 0 && j > 0) ? 2 : 1;
            }
        }
        return 3;
    }
}

② 遞歸方法。遍歷全部比n小的徹底平方數，而後對n與徹底平方數的差值遞歸調用函數，目的是不斷更新最終結果，直到找到最小的那個。

class Solution { //326ms
    public int numSquares(int n) {
        int count = n;
        int num = 2;
        while(num * num <= n){
            int a = n / (num * num);
            int b = n % (num * num);
            count = Math.min(count,a + numSquares(b));
            num ++;
        }
        return count;
    }
}

③ 動態規劃。若是一個數x能夠表示爲一個任意數a加上一個平方數bｘb，也就是x=a+bｘb，那麼能組成這個數x最少的平方數個數，就是能組成a最少的平方數個數加上1（由於b*b已是平方數了）。時間 O(N^2) ，空間 O(N)。

class Solution { //64ms     public int numSquares(int n) {         int[] dp = new int[n + 1];         Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);//將全部非平方數的結果置爲最大，保證以後比較的時候不被選中         for (int i = 0;i * i <= n;i ++){//將全部平方數的結果置爲1             dp[i * i] = 1;         }         for (int i = 0;i <= n;i ++){//從小到大找任意數i             for (int j = 0; i + j * j <= n;j ++){//從小到大找平方數j*j                 dp[i + j * j] = Math.min(dp[i] + 1,dp[i + j * j]);             }         }         return dp[n];     } }