P1490 買蛋糕
題目描述
野貓過生日，你們固然會送禮物了（咳咳，沒送禮物的同志注意了哈！！），因爲不知道送什麼好，又考慮到實用性等其餘問題，你們決定合夥給野貓買一個生日蛋糕。你們不知道最後要買的蛋糕的準確價格，而只會給蛋糕估價，即要買一個不超過多少錢的蛋糕。衆OIer藉此發揮：可否用最少的錢幣數去湊成估價範圍內的全部價值，使得無論蛋糕價值多少，都不用找錢……spa
如今問題由此引出：對於一個給定的n，可否用最少的不等的正整數去組成n之內（包括n）的全部的正整數呢？若是能，最少須要多少個正整數，用最少個數又有多少不一樣的組成方法呢？code
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只有一行包含一個整數n(1<=n<=1000)。class
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一行兩個數，第一個數是最少須要多少個數，第二個數是用最少個數的組成方案個數。兩個答案用空格分隔。二進制
- 首先明確第一個問題：這個最小的正整數是多少？
也許你能夠打表看出來，也許不能，但別急，咱們有看似靠譜一點的思惟方法方法
看看樣例：6di
可行方案：co
①$1$ $2$ $3$;思維
②$1$ $2$ $4$.枚舉
咱們發現，對於方案①，組成3的時候有兩種方法（1+2或3），而方案②只有一種。換而言之，3的利用是有浪費的。而不浪費的方案②還能夠組成7。
那麼，咱們咋讓她(每一個數)都用好本身呢
很簡單，百合就好了
聯想一下二進制位下的數
$1$,$10$,$11$,$100$,$101$,$110$,$111$,$1000$...
可不是嘛，這個$2^i$的每一個數利用率可高了
由此可知，二進制的位數即爲這個最小的正整數。
- 想明白第一問之後，應該給出了一個相對的第二問的思惟導向。（固然不絕對哈）
當每一個數的利用率最大的時候，她們可以湊成的最大整數即爲她們的和，這點是毋庸置疑的。
那麼，在利用率相對不是那麼大的時候呢？
咱們注意到，此時已經有了一個限制條件：已有的最小正整數
手動模擬一下，確實是仍然成立的。（實際上是不太會證啦）
這時候，咱們就把參與量已使用的各數之和和湊成的最大整數搞到一塊兒去了
考慮$dp[k]$表明湊成時$k$的方案數。看看這時候還要壓哪些信息進去。
顯然，剩下的必要信息還有第$i$個數和第$i$個數的值$j$
$dp[i][j][k]$表示已選$i$個數，第$i$個數爲$j$，前$i$個數和爲$k$（湊成的最大整數位$k$）的時候的方案數
轉移方程 $dp[i+1][l][k+l]+=dp[i][j][k];$
其中$l$爲枚舉的下一個填充數
核心代碼：
dp[1][1][1]=1;
for(int i=1;i<ans;i++)
for(int j=i;j<=(1<<(i-1));j++)
for(int k=i*(i-1)/2;k<(1<<i);k++)
for(int l=j+1;l<=k+1;l++)
if(l+k<=n)
dp[i+1][l][k+l]+=dp[i][j][k];
else
dp[i+1][l][n]+=dp[i][j][k];
注意$j,k,l$的上下界，都是被已經獲得的第一問給約束住了
固然，也不必跑這麼死，好比$k$從$i$開始反而會快一些。
至於$if$和$else$的判斷，是爲了方便求最後結果的一點點小貪心了。
2018.5.2