算法導論-動態規劃(最長公共子序列問題LCS)-C++實現

時間 2019-11-12

原文原文鏈接

首先定義一個給定序列的子序列，就是將給定序列中零個或多個元素去掉以後獲得的結果，其形式化定義以下：給定一個序列X = <x₁,x₂,..., x_m>，另外一個序列Z =<z₁,z₂,..., z_k> 知足以下條件時稱爲X的子序列，即存在一個嚴格遞增的X的下標序列<i₁,i₂,..., i_k>，對於全部j = 1,2,...,k，知足x_ij = z_j，例如，Z=<B,C,D,B>是X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列，對應的下標序列爲<2,3,5,7>。給定兩個序列X和Y，若是Z是X的子序列，也是Y的子序列，則稱它是X和Y的公共子序列。spa

最長公共子序列問題(longest-common-subsequence problem)可用動態規劃方法高效地求解。3d

步驟1：刻畫最長公共子序列的特徵code

LCS問題具備最優子結構性質。子問題的天然分類對應兩個輸入序列的「前綴"對。"前綴"的定義以下：給定一個序列X = <x₁,x₂,..., x_m>，對於i = 0,1,...,m，定義X的第i前綴爲X_i = <x₁,x₂,..., x_i>。例如，若 X = <A,B,C,B,D,A,B>，則 X₄= <A,B,C,B>，X₀爲空串。blog

令X = <x₁,x₂,..., x_m>和Y = <y₁,y₂,..., y_n> 爲兩個序列，Z =<z₁,z₂,..., z_k>爲X和Y的任意LCS。遞歸

若是X_m = Y_n，則 Z_k = X_m = Y_n且Z_k-1 是X_m-1和Y_n-1的一個LCS。
若是 X_m ≠ Y_n，那麼Z_k ≠ X_m意味着Z是X_m-1和Y的一個LCS。
若是 X_m ≠ Y_n，那麼Z_k ≠ Y_n意味着Z是X和Y_n-1的一個LCS。

步驟2：一個遞歸解string

很容易看出LCS問題的重疊子問題性質。爲了求X和Y的一個LCS，咱們可能須要求X和Y_n-1的一個LCS及X_m-1和Y的一個LCS。可是這幾個子問題都包含求解X_m-1和Y_n-1的LCS的子子問題。咱們定義c[i,j]表示X_i和Y_j的LCS的長度。若是i= 0 或j = 0，即一個序列長度爲0，那麼LCS的長度爲0，根據LCS問題的最優子結構性質，可得以下公式：table

步驟3：計算LCS的長度class

過程LCS-LENGTH接受兩個序列X = <x₁,x₂,..., x_m>和Y = <y₁,y₂,..., y_n>爲輸入。它將c[i,j]的值保存在表c[0...m,0...n]中，過程還維護一個表b[1...m,1...n]，幫助構造最優解。b[i,j]指向的表項對應計算c[i,j]時所選擇的子問題最優解。過程返回表b和表c，c[m,n]保存了X和Y的長度。方法

//僞代碼
LCS-LENGTH(X,Y)
m = X.length
n = Y.length
let b[1..m,1..n] and c[0..m,0..n]be new tables
for i = 1 to m
c[i,0] = 0
for j = 0 to n
c[0,j] = 0
for i = 1 to m
for j = 1 to n
　　　　if xi == yi
　　　　　　c[i,j] = c[i-1,j-1] + 1
　　　　　　b[i,j] = "\"im

　　　　else if c[i-1,j] ≥ c[i,j-1]

　　　　　　c[i,j] = c[i-1,j]

　　　　　　b[i,j] = "|"

　　　　else

　　　　　　c[i,j] = c[i,j-1]

　　　　　　b[i,j] = "—"

return c and b

下圖顯示了LCS-LENGTH對輸入序列X= <A,B,C,B,D,A,B>和Y=<B,D,C,A,B,A>生成的結果。過程的運行時間爲O(mn)。

步驟4：構造LCS

利用LCS-LENGTH返回的表b快速構造X和Y的LCS,只需簡單地從b[m,n]開始，並按箭頭方向追蹤下去便可。擋在表項b[i,j]中遇到一個」\"時，意味着x_i=y_i是LCS的一個元素。下面的遞歸過程會按正確的順序打印出X和Y的一個LCS。對它的起始調用爲PRINT-LCS(b,X,X.length,Y.length)。

PRINT-LCS(b,X,i,j)

　　if == 0 or j==0

　　　　return

　　if b[i,j] == "\"

　　　　PRINT-LCS(b,X,i-1,j-1)

　　　　print x_i

　　else if b[i,j] == "|"

　　　　PRINT-LCS(b,X,i-1,j)

　　else

　　　　PRINT-LCS(b,X,i,j-1)

實現：

 1 void lcsLength(string x,string y, vector< vector<int>> &c, vector< vector<char>> &b)
 2 {
 3     int m = x.size();
 4     int n = y.size();
 5     c.resize(m+1);
 6     b.resize(m+1);
 7     for(int i = 0; i < c.size(); ++i)
 8         c[i].resize(n+1);
 9     for(int i = 0; i < b.size(); ++i)
10         b[i].resize(n+1);
11 
12     for(int i = 1; i <= m; ++i){
13         for(int j = 1; j <= n; ++j){
14             if(x[i-1] == y[j-1]){
15                 c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
16                 b[i][j] = 'c';
17             }else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]){
18                 c[i][j] = c[i-1][j];
19                 b[i][j] ='u';
20             }else{
21                 c[i][j] = c[i][j-1];
22                 b[i][j] = 'l';
23             }
24         }
25     }
26 }

 1 void print_lcs(vector< vector<char>> &b,string x, int i, int j)
 2 {
 3     if(i == 0 || j == 0)
 4         return;
 5     if(b[i][j] == 'c'){
 6         print_lcs(b,x,i-1,j-1);
 7         cout << x[i-1];
 8     }else if(b[i][j] == 'u')
 9         print_lcs(b,x,i-1,j);
10     else
11         print_lcs(b,x,i,j-1);
12 }

例子：

 1 int main()
 2 {
 3     string x = "ABCBDAB";
 4     string y = "BDCABA";
 5     vector< vector<int>> c;
 6     vector< vector<char>> b;
 7 
 8     lcsLength(x,y,c,b);
 9     print_lcs(b,x,x.size(),y.size());
10 }