詳解動態規劃最長公共子序列--JavaScript實現

前面兩篇咱們講解了01揹包問題和最少硬幣找零問題。這篇將介紹另外一個經典的動態規劃問題--最長公共子序列。若是沒看過前兩篇，可點擊下面連接。

詳解動態規劃最少硬幣找零問題--JavaScript實現

詳解動態規劃01揹包問題--JavaScript實現

問題

給定兩個字符串序列 abcadf , acbad，求這兩個字符串的最長公共子序列

分析

最長公共子序列問題，有三個點須要注意

• 兩個序列長度不必定相同
• 最長子序列是指，在兩個字符串序列中以相同順序出現
• 所求的子序列不須要連續

在進行填表分析以前，根據上面提到的三個點，咱們能夠很容易地先直接得出答案，最長公共子序列應爲 acad

1. 建表

咱們給兩個子序列前面都加一個空字符，即

input1 = ["","a","c","b","a","d"],
input2 = ["","a","b","c","a","d","f"],

複製代碼

而後構建以下表格

爲何填一堆0呢？表示字符串沒法匹配，你能夠理解這是一種輔助的計算方式，在分析具體子序列時，不把構建的空字符歸入考慮範圍。在後面也會按照前面2篇的思路，使用T[i][j]表示組合的子序列長度。

下面將從左往右，從上往下開始填表。咱們在填寫某一個表格的時候，只須要考慮小於等於i 和小於等於j的狀況。好比咱們要填寫T[2][2]時，那麼此時等同於求字符串 ac,ab的最長公共子序列，填寫T[4][5]時，那麼此時等同於求 acba，abcad的最長公共子序列長度。

若是你看過前兩篇，對於這種填表應該會很熟悉。 下面基於這個表格，開始填表。

2. i =1

咱們從第一行開始。

i=1 j=1：此時等同於求字符串 a和a的最長公共子序列長度，很顯然結果爲1。

i=1 j=2：此時等同於求字符串 a和ab的最長公共子序列長度，結果爲1。

i=1 j=3：此時等同於求字符串 a和abc的最長公共子序列長度，結果爲1。

只要一個序列只有一個字符，那麼另外一個序列不管多長，它們的最長公共子序列長度最多隻能爲1。因此 i=1 行剩餘空格都填1。

3. i = 2

i=2 j=1：此時等同於求字符串 ac和a的最長公共子序列長度，結果爲1。

i=2 j=2：此時等同於求字符串 ac和ab的最長公共子序列長度，結果爲1。

i=2 j=3：此時等同於求字符串 ac和abc的最長公共子序列長度。這時就有意思了。由於根據一開始的分析，求最長公共子序列時，子序列是能夠不連續的，所以這兩個序列的最長公共子序列應該是 ac，因此這裏表格應該填2。

好了，停下，先不用急着繼續填，咱們須要先分析一下通用思路。

4.填表思路

咱們從T[2][3]=2 這一個格分析。很顯然去除 c 這個公共字符後，兩個字符串還剩下 a, ab。是否是有點熟悉？這個其實就是填寫 T[1][2] 時的組合，也就是咱們能夠假設當 input1[i] == input2[j]時，T[i][j]=T[i-1][j-1]+1。 當input1[i] != input2[j]時，T[i][j]的值，取它上方或左邊的較大值，即[i][j] = max(T[i-1][j],T[i][j-1])。

用一句通俗的話來描述這種T[i][j]規律，就是相等左上角加一，不等取上或左最大值，若是上左同樣大，優先取左。

好了，不看下面內容，你帶着這種規律，把表格剩餘內容本身填寫完畢。

5.最終表格

理解了這種規律，咱們不必把每一格該怎麼填重複敘述了。下面就是最終表格。

咱們舉個例子，好比 i=5 j=4，此時input1[i] !=input2[j]，咱們取它左邊（2）或者上方（3）的較大值，因此填寫3。

i=5 j=5，此時input1[i] ==input2[j]，咱們直接取左上角值加1，左上角的值爲T[4][4]=3，因此T[5][5]=4 。

若是還不太理解，能夠本身再練習畫一次。

6.尋找子串

咱們完成填表後，只能求出最長公共子序列的長度，可是沒法得知它的具體構成。咱們能夠參照上一篇硬幣問題，從填表的反向角度來尋找子序列。

咱們子序列保存在名爲 s的數組中，從表格中反向搜索，找到目標字符後，每次都把目標字符插入到數組最前面。

根據前面提供的填表口訣，咱們能夠反向得出尋找子序列的口訣： 若是T[i][j]來自左上角加一，則是子序列，不然向左或上回退。若是上左同樣大，優先取左。

1. 從右下角開始分析，T[5][6]=4，它並非來自左上角。它左邊的值比上方大，因此它來自左邊，向左回退，以下圖箭頭。

2. 接着就定位到 T[5][5]，顯然他來自左上角加1，它是子序列。插入數組中，有

s = ['d']
複製代碼

3. 扣除掉 T[5][5]，能夠定位到它的左上角 T[4][4]，如圖：

T[4][4]也是來自左上角加1，它也是子序列，把它插入到數組最前面，此時 s 應該是

s = ['a','d']
複製代碼

4. 按照前面的思路，繼續定位分析，最終以下圖：

最終箭頭指向0，搜索結束。

s = ['a','b','a','d']
複製代碼

僞代碼

整個分析過程已經完成了。下面提供代碼邏輯，即便不懂 JavaScript，也不會影響你理解，由於沒有涉及語言特性。

填表

if(input1[i] == input2[j]){
	T[i][j] = T[i-1][j-1] + 1;
}else{
	T[i][j] = max(T[i-1][j],T[i][j-1])
}
複製代碼

尋找子串

if(input1[i] == input2[j]){
	s.insertToIndexZero(input1[i]); //插入到數組最前面
	i--;
	j--;
}else{
	//向左或向上回退
	if(T[i-1][j]>T[i][j-1]){
		//向上回退
		i--;
	}else{
		//向左回退
		j--;
	}
}
複製代碼

完整代碼

最終代碼使用 JavaScript 實現，若是你的 Sublime 支持純 JavaScript，你能夠直接複製黏貼代碼，command + b 直接運行查看結果，而後修改輸入變量，查看更多狀況下的輸出結果。

//動態規劃 -- 最長公共子序列


//!!!!  T[i][j] 計算，記住口訣：相等左上角加一，不等取上或左最大值

function longestSeq(input1,input2,n1,n2){
	var T = []; // T[i][j]表示 公共子序列長度
	for(let i=0;i<n1;i++){
		T[i] = [];
		for(let j= 0;j<n2;j++){
			if(j==0 ||i==0){
				T[i][j] = 0;
				continue;
			}
			if(input1[i] == input2[j]){
				T[i][j] = T[i-1][j-1] + 1;
			}else{
				T[i][j] = Math.max(T[i-1][j],T[i][j-1])
			}

		}

	}

	findValue(input1,input2,n1,n2,T);

	return T;

}

//!!!若是它來自左上角加一，則是子序列，不然向左或上回退。
//findValue過程，其實就是和 就是把T[i][j]的計算反過來。
function findValue(input1,input2,n1,n2,T){
	var i = n1-1,j=n2-1;
	var result = [];//結果保存在數組中
	console.log(i);
	console.log(j);
	while(i>0 && j>0){
		if(input1[i] == input2[j]){
			result.unshift(input1[i]);
			i--;
			j--;
		}else{
			//向左或向上回退
			if(T[i-1][j]>T[i][j-1]){
				//向上回退
				i--;
			}else{
				//向左回退
				j--;
			}
		}

	}

	console.log(result);
}


//兩個序列，長度不必定相等, 從計算表格考慮，把input1和input2首位都補一個用於佔位的空字符串
var input2 = ["","a","b","c","a","d","f"],
	input1 = ["","a","c","b","a","d"],
	n1 = input1.length,
	n2 = input2.length;

console.log(longestSeq(input1,input2,n1,n2));
複製代碼