複雜性與臨界性初探

1. 引言 - 複雜性與臨界性

宇宙怎樣以大爆炸中產生的幾種基本粒子開始而以生命、歷史、經濟和文學了結？

爲何大爆炸不造成粒子的一種簡單的氣體或凝聚成一個巨大的晶體呢？

針對這些問題，目前學界的主流見解是，天然界的複雜行爲反映了有許多分支的大型系統會朝着均衡的臨界態發展的一種趨勢。這種方法偏離了平衡，並且微小的擾動可能致使很是巨大的不一樣後果。

大多數的改變是經過災難性的事件，而不是遵循一種平和漸變的路線來實現的。

而且，最重要的是，朝着這種很是微妙的態的演化並無受到任何來自外部因素的影響。這種態之因此創建起來僅僅是由於系統中的單個元素之間的動力學相互做用。

爲了避免至於太抽象，讓咱們看一看海灘上的孩子讓沙粒緩緩流下而造成一堆沙的場景，

開始的時候，沙堆是平的，沙粒在附着的位置上靠的很近。它們的運動可以用單個沙粒的物理性質來理解。

堆沙的過程在繼續，沙堆變得愈來愈陡峭，開始有少許沙粒沿着沙堆滑動。

對着時間的推移，沙粒的滑動愈來愈大。

最終，一些滑動的沙粒甚至跨越了整個沙堆或沙堆的大部分。從這個時間點開始，系統遠離了平衡，於是它的行爲再也不能用單個沙粒的行爲來描述。雪崩造成了自身的內部力量，而這一點只有從對整個沙堆的性質的整體描述而不是單個沙粒的簡化描述，才能得以理解。

換句話說，沙堆是一個複雜系統。

隨處可見的複雜現象代表，天然界是做用在自組織臨界態上面的。 

Relevant Link:   

《大天然如何工做：有關自組織臨界性的科學》

 

2. 物理定律是簡單的，大天然是複雜的

從大爆炸開始，宇宙就被假定爲按照物理定律演變。經過分析實驗和觀察到的現象，物理學家已經很是成功地發現了這些定律。

物質包含原子，原子又由更基本的粒子如電子、質子、中子組成，而這些基本粒子又由夸克和膠子組成，如此循環往復。

天然界中的全部現象，從最大的由宇宙標識的尺度到最小的由夸克表明的層次，都應被一樣的物理規律所解釋。

• 譬如，牛頓第二定律 F=ma，它僅僅告訴咱們若是一個物體受到一個外力的做用一定要相應產生一個加速度。這個簡單的定律足夠用來描述一個蘋果是如何落地地上、行星是如何圍繞太陽轉動、以及星系是如何互相被吸引的。
• 麥克斯韋方程描述了電流和磁場之間的相互做用，讓咱們知道電車或者發電機是如何工做的。
• 愛因斯坦的相對論理論代表，當一個物體高速運動時，牛頓定律應當予以修正。
• 量子力學理論告訴咱們，原子中的電子只能處在有着特定能量的那些態上。電子從一個太激發到另外一個態上，根本不花時間。

這些物理定律十分簡單，用寫在幾張紙上的數學方程就足以描述它們了。

物理的哲學思想從一開始就是最簡原理：咱們周圍的世界可以用簡單的磚塊的方式來理解。

然而，咱們不只僅生活在一個簡單的、乏味的世界（只有一個恆星且周圍圍繞着一個行星、大量規則的水晶、簡單的氣體和液體）中。咱們天天遇到的不只僅是蘋果落地的現象。

地球的表面是由山脈、海洋、島嶼、河流、火山、冰川和地震帶組成的一個複雜的大總體，它們各自有本身的動態特性。不像很是有序或很是無序的系統。

咱們把有巨大變化性的系統稱爲複雜系統，這個大的變化性可能存在於一個廣闊的長度標度的範圍裏。若是咱們不斷放大，或調查得愈來愈深刻，咱們會在每一級放大發現變化，同時會出現愈來愈多的新的細節。

除了天文學和地球物理學以外，複雜性還包含更多的層次。

• 生物的生命在地球上已發展成數量巨大的不一樣物種。許多物種包含數以十億計的個體，它們之間以及它們與環境之間相互競爭及相互影響。
• 在生物學的一個極小的分支的末端咱們發現了人類本身。人類的身體和大腦是由相互做用的細胞的一種複雜系統組成的。
• 人類的歷史，包含着鉅變、戰爭、宗教以及政治體制的記錄，已組成另外層次的複雜性，包括現代人類社會，其中經濟由顧客、商人、盜賊、政府和經濟學家組成。

無數的事實代表，物理定律決定一切的說法是不合適的。物理定律可以解釋蘋果是如何下落的，但不能解釋爲何牛頓做爲複雜世界的一部分，會去觀察那個蘋果。

物理也解釋不了蘋果的來源。咱們沒法架起一座橋樑，從咱們知道的物理定律適用的原子，通過複雜的有機分子的化學，到細胞的造成以及到那些細胞構成生命組織的排列。

 

3. 敘述與科學 -- 軟科學與硬科學

習慣上將科學劃分爲兩大類：

• 硬科學：可重複的事件能夠經過那些反映天然界法則的數學表達式得以預言，例如物理、化學、分子生物學；
• 軟科學：其中，由於它固有的變化性，只有對那些引人注目的事件的敘述性描述是可能的，例如歷史、生物演化、經濟學；

硬科學中的簡化方法：先創建一個基本假設，而後與可重複實驗進行比較。這種方法在軟科學領域中是不適用的。

古生物學家和科普做家，史蒂芬.傑伊.古爾德在他的《美好的生命》這本書裏做了詳細的說明：

當科學家們試圖解釋歷史的結果，那些在榮耀的歷史中只發生過一次的極其複雜的事件，必須用歷史的工具加以研究。合適的方法是把注意力集中在敘述上，而不是實驗上。

古爾德認爲，只有「敘述」才能被用到許多科學上，由於許多單個和不可預料的事件的結果是偶然的。演化或古生物學上的實驗是互不相關的，由於沒有什麼東西是可以再現的。歷史，包括歷史的演化，也僅僅是「一件又一件該死的事情」，咱們能夠過後來解釋那些已經發生的事情，可是咱們不能預言未來會發生什麼。

古爾德把事物的變化性，以及於是致使的複雜性，正確地歸因於偶然性。歷史事件依賴於及其偶然的事件，所以若是歷史的錄音帶被重放不少次，而每次給予的初始條件都有微小的差異，那麼每次出來的結果差異會相差巨大。

歷史學家用一種敘事的語言解釋事件的發生：

• 事件 A 致使事 件 B 以及事件 C 致使事件 D。
• 而後，由於事件 D 甚至事件 B 而致使事件 E,
• 然而若是事件 C 未曾發生過，那麼事件 D 和 E 都不會發生。

歷史的進程將會變換到另外一連串的事件，而這一切經過以一種敘事方式，很好地、同等地得以解釋。

美洲的發現包含一長串的事件，對實際的結果來講，每個事件都有其關鍵的歷史重要性：

• 哥倫布的父母必須在一塊兒
• 哥倫布必須得生下來
• 他必須到西班牙獲取資助
• 天氣必須很是合理，等等

歷史是不能預料的，但並非不能解釋的。目的是對特別事件的一個準確的、敘事般的記錄。 

在軟科學中，偶然性是廣泛的、詳盡的，長期的詳盡預言是作不到的。

是歷史和生物的什麼潛在的性質使得它們對微不足道的偶然事件如此敏感？

換句話說，動力學中存在什麼潛在的本質從而致使了事件的相互關聯並進一步致使複雜性？

爲何帶有戲劇性廣泛後果的事件可以發生？

帶着這些疑問，咱們開始複雜性科學的討論。

 

4. 複雜性理論能解釋什麼

須要明白的是，複雜性理論確定還不夠完善。變化系統的變化性，意味着咱們不可能將全部細節的觀察，都濃縮成一個個獨立數學方程。即咱們沒法像物理的基本定律同樣，找到組成全部事物背後的基本元素獨立數學方程。

相反，複雜性理論只能解釋【爲何有變化性】，或【哪一種特別類型可能出現】，而不是【某個特定系統的特定結果會怎麼樣】。複雜性理論永遠不可能預言大象。

這直接致使的結果就是，複雜系統的一個廣泛理論必須並且必然是抽象的。

例如，生命的理論原則上說必須可以描述演化的全部可能的情形。它應當可以描述火星上的生命的機理（若是火星上的確會有生命的話）。但這是極其不肯定的一步。咱們構造的任何廣泛的理論都不能把實際的物種做爲特定的參考。

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筆者思考：

這一點很相似機率統計與因果推理，在宏觀上，咱們可以計算出目標事物的一個機率發生數值（例如98%），但這裏所謂的機率值，僅僅是指對於總體來講，不一樣類型的事物各自的佔比分佈狀況。咱們決不能將其直接應用到一個具體的對象實例上，由於對於某一個具體的實例來講，這個98%的發生機率是不必定成立的，它存在浮動誤差這個概念。

正如哲學家卡爾·玻普指出的那樣，預言是咱們區分科學和僞科學的最好的辦法，預言實際現象的統計性而不是預言某個特定的結果，是處理理論與實驗之間衝突的一條至關合理而又通用的途徑。 

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咱們應當學會把咱們從看問題僅僅看事情的自己這種方式中解脫出來！一個基本的科學觀點纔是真正重要的！

若是遵循傳統的實驗科學方法，把重點放在對細節的精確描述上，咱們可能會失去洞察力。生命的理論有多是過程的理論，而不是對那個過程當中的徹底偶然的細節的詳細描述，例如人類的出現。 

這個理論必須是統計的，於是不能產生特定的細節。

在現今這個物質世界，也許太多的重點放在了對科學的細節性的預言或預告上。

• 在地球物理中，重點是放在預報地震或其餘大的災難上。
• 資助是根據預算機構和評審人斷定成果會取得的進步而予以提供的。這就會致使假冒行爲甚至行騙，更不用說有成就的科學家的補助金被搶走。
• 經濟學的重點是預言證券價格以及其餘經濟指標，由於準確的預報容許你賺錢。 

實際上，物理學家們習慣了同機率理論打交道，由於不少時候，一項實驗的特定的結果是不能預料的，只能知道一些統計特性。

物理中的三個基本理論都有統計的特性，

• 統計力學研究的是處於平衡態的大型系統，例如咱們周圍空氣中的氣體原子。統計力學告訴咱們如何計算組成氣體的許多原子的平均性質，例如溫度和壓強。這個理論沒有告訴咱們全部單個原子的位置和速度（並且不管如何咱們也不可能關心到如此程度）
• 量子力學告訴咱們，不能同時測定一個小粒子（如電子）的特定位置和速度，而只是某個實驗中在某個特定的位置發現某個粒子的概率。
• 混沌理論告訴咱們，許多簡單的力學系統，例如週期性推進的鐘擺，也可能顯示出沒法預料的行爲。咱們沒法精確知道通過一段長時間後鐘擺的位置會在哪裏，不管咱們對它的運動方程和初始狀態瞭解得多麼清楚。 

回到咱們本小節的問題，複雜理論能夠解釋什麼？

若是咱們不能解決不可預料性的問題，那麼怎麼能有一個普適理論或者一門複雜科學呢？若是這樣一個理論不能解釋任何特定的細節，那麼這個理論又企圖解釋什麼呢？準確地說，一我的怎樣才能對 照理論和事實呢？沒有這關鍵的一步，就不能有科學。

幸運的是，在個別幾個學科中有一部分無所不在的、廣泛的、經驗性的觀察，這些現象就是

• 大雪崩事件的發生
• 分形
• 1/f 噪聲
• 茲波夫定律

科學家發現，複雜理論就是解釋這些現象的普適工具，這也是目前複雜性理論研究的最熱門領域，人們相信，經過對這些領域的深刻研究，能夠進一步揭示覆雜性理論的底層邏輯與內涵。

咱們接下來逐一討論這幾個話題。  

 

5. 災變遵循一種簡單的統計模式

因爲綜合性特性，複雜系統能展現災變行爲，其中系統的某個部分能以多米諾效應的方式影響其餘部分。

一種典型的災變就是地震，地球中地殼的崩坍也是以這種方式傳播由此而造成地震的，這當中伴隨着巨大的能量。

0x1：地震能級和數量分佈中蘊含的簡單規律 -- 古登堡 -- 裏特定律

研究地震的科學家們把每一個事件都同其餘事件隔離開來並對它們進行個別的、敘述性的描述，從而企圖在大的統計尺度上，尋找大事件的特別機制。這的確成功了！

科學家發現大大小小的地震的數量遵循一種使人難以想象的簡單分佈函數，也就是衆所周知的【古登堡 -- 裏特定律】。

每一個時刻大約有 1000 個在裏特標度上大小爲 4 的地震發生，有 100 個大小爲 5 的地震發生，有 10 個大小爲 6 的地震發生，等等。這個規律顯示在下圖中，

1974 至 1983 年期間美國東南部的新馬里蘭地震區中各類大小的地震的數量，點的大小代表了地震的大小

能夠看到，在這個圖上，古登堡 -- 裏特定律表現爲一條直線（在雙對數尺度上）。

• 量級爲 6 的地震的強度是量級爲 5 的地震的強度的十倍
• 量級爲 4 的地震的強度又是量級爲 3 的地震的強度的十倍
• 量級爲 8 的地震的能量要比量級爲 1 的地震的能量高一千萬倍，然後者至關於一輛大型卡車經過時形成的結果。

利用全球通用的地震手冊，咱們能夠把直線拓展到量級爲 7 級、8 級及 9 級的地震的狀況。這個規律是使人驚奇的 ! 一個像地球的表面，有山峯、有山谷、有湖泊，以及充滿巨大變化的地理結構同樣複雜的系統的各個部分的動力是如何像魔術同樣產生如此簡單的規律？

這個定律代表大地震並不佔有特殊的地位，它們和小地震同樣聽從一樣的規律，大地震並非黑天鵝事件。

所以，人們彷佛不該當設法找到對大地震的特定的解釋，而是應當找到包括全部地震的廣泛理論，不管這些地震是大仍是小。 

0x2：經濟領域中商品價格波動區間分佈中蘊含的簡單規律 -- 列維分佈 

在經濟學方面，也存在一個同古登堡—裏特定律同樣的經驗性的模式。

紐約 IBM 的 T·J·沃特森中心的貝羅特·曼得布羅特在 1996 年指出，證券、棉花以及其餘商品價格低和高的波動的機率，聽從一種很是簡單的模式，也就是所謂的【列維分佈】。

曼得布羅特收集了幾年中棉花價格逐月波動的資料。他而後計算出月波動在各個區間（例如 10%到 20%之間、5%到 10%之間）的波動次數，而且把這些結果畫在一個對數圖上，

(a)曲線反映了30個月以內的棉花價格的月波動。(b)曲線顯示了相關波動超過給定比例的月份的數目。注意從小的波動到大的波動的平滑過渡。直線代表了冪次規律。其餘商品遵
從一樣的模式。

正如古登堡 -- 裏特定律同樣，價格波動的分佈近似地聽從一條直線（即知足冪次規律）。價格波動是「標度自由的」，即波動沒有典型的尺寸，或者說波動在任何尺寸上均可能有分佈，正如地震沒有一個典型的特徵大小，這點很相似分形的性質。 

曼得布羅特研究了幾種不一樣的商品，而且發現它們都遵循一種相近的模式，可是他並無追溯他所觀察到的規則行爲的根源。當時的經濟學家們大多都忽略了曼得布羅特所作的工做，最主要的是由於它並不適合廣泛地被接受的情形。經濟學家但願擯棄大的事件，是由於這些事件可以被歸因於特定的「不常見的狀況」，例如貿易計劃所致使的 1987 年 10 月經濟大崩潰，以及購買力過剩所致使的 1929 年的經濟大崩潰。

偶然性是統計中經常爭論的話題。經濟學家們一般在分析以前剔除或者刪去那些帶偶然性因素的資料。那些只發生過一次的事件怎麼會聽從一個廣泛的理論呢？

然而，古登堡 -- 裏特定律和列爲分佈告訴咱們，大事件和小事件遵循一樣的規律。不少事實代表，那些大事件並無什麼特別之處 , 除開他們可能帶來的毀壞性的後果以外。 

0x3：生物演化進程中滅絕事件的分佈中蘊含的簡單規律

芝加哥大學的戴維·諾伯教授指出：在生物演化進程中，滅絕事件的分佈聽從一個平滑的分佈，其中大的事件（例如白堊時代恐龍和其餘一些物種的滅絕）和其餘的小事件，都遵循必定的機率和規律發 生。

以 400 萬年爲一個時期，把地質時代劃分爲 150 個連續的時期。對每個時期他估算出自前一時期以來多大比例的物種已經消失，以下圖所示：

這種估算是對滅絕率的一個測度。有時候滅絕率很小，不到 5% , 而有的時候滅絕率超過了 50%。

初看這個圖，彷佛滅絕率是一個毫無規律的隨機信號圖，但實際上，滅絕率一樣也遵循冪律分佈。

諾伯簡單地估算了不一樣區間的滅絕率分佈狀況（例如不到 10% 的時期的數目、波動在 10% 到 20% 之間的數目），同時他做出了直方圖，

直方圖顯示了在 400 萬年期間某個給定範圍的滅絕率的數目。大的滅絕事件出如今曲線的末端

這和曼得布羅特對棉花價格很是相似。滅絕率代替了價格波動，400 萬年間隔代替了月份間隔。 

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筆者思考： 

儘管大的事件以必定的機率出現 , 但這並不意味着這個現象是週期性的。

如同諾伯認爲的那樣。長時期沒有發生地震這個事實並不意味着將有地震發生。這種情形和用來賭博的輪盤轉動同樣。儘管平均來講隔一次出現黑子，但這並不意味着紅子與黑子交替出現。通過七次連續的紅子以後，下一次黑子出現的機率仍然是1/2。

一樣，地震在某個平均間隔內發生並不意味着它們是週期性的。例如，戰爭平均每三十年就會爆發一次這個事實並不能用來預報下一次戰爭。這種間隔的變化多是巨大的 

換句話說，對災變的這種統計模式的描述，並不意味着咱們能夠對將來的精確災變進行精確預測。災變模型本質上也是一種複雜性模型，它只能給出【爲何會有災變】以及【某種程度的災變可能會出現，不一樣程度的災變出現的分佈狀況如何】這幾個問題，而沒法回答【將來的什麼時間，什麼程度的具體災變是否會發生】這種問題。

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6. 災變理論與同一性理論的衝突

災變的發生是至關使人吃驚的。它們與【同一性理論】，或稱【漸近性理論】，造成鮮明的對照。

漸進性理論於上個世紀在地球物理學家查爾斯·利爾的《地質原理》一書中初見端倪。

根據利爾的理論，全部的變化都是由咱們在此刻觀察到的過程引發的，這些過程一直都以相同的速度進行着。例如，利爾認爲地貌是由漸近的過程造成的，而不是由相似諾亞洪水的大災難造成的，並且咱們今天看到的地表特徵是由緩慢的持續的過程形成的，隨着時間的流逝，做爲「巨大的能動者」最終致使大的變化。 

利爾的同一性的觀點從邏輯上來講是完美的。物理定律老是表示爲平滑連續的方程。因爲這些定律應當描述全部事物，所以，咱們期待觀察到的現象也應當以一種平滑的和漸近的方式變化。

  

7. 分形幾何

在以前討論災變現象的時候，咱們提出的了一律念，「標度自由」，在災變分佈遵循的冪律分佈中，標度自由是一個很是重要的性質。咱們這個章節來繼續深刻討論這個話題。

在分形幾何中，標度自由是一個很是典型的特性。咱們這個章節就來詳細討論分形幾何，但願能讓讀者朋友更深入體會到「標度自由」的概念內涵。

0x1：挪威海岸線中的分形幾何

 

挪威海岸。注意「分形的」階梯似的幾何特徵，海岸帶有峽灣，而且峽灣中又有峽灣，如此等等。曼德布羅特指出地貌一般是分形的

上圖顯示了挪威的海岸，它顯現出峽灣的一個階梯似的結構，峽灣裏又有峽灣，而且峽灣的峽灣裏又有峽灣。

「一個典型的峽灣有多長？」這個問題沒有答案。

這種現象被稱爲「標度無關」。當你觀察峽灣的一部分或海岸線的一部分的圖像時，若是圖上沒有一把尺子你就不會知道海岸線有多長。並且長度的測量也依賴於用來測量的尺子的精確程度。

以英里爲單位來測量海岸線長度的大尺子，比以米爲單位來測量長度的精細的尺子，在測量同一長度時獲得的值要小得多。 

這其實是用到了微積分的漸進擬合的思想，通俗的理解方式就是，咱們可使用大小爲 δ 的盒子來鋪滿海岸。顯然，盒子越小，鋪滿整個海岸線所要的盒子越多。

• 若是海岸線是一條直線，也就是維數爲 1，那麼盒子的數量就會反比於 δ，所以測量出的長度與δ無關。
• 然而 , 所需盒子的數量，會隨着海岸線的彎曲部分而快速增長 , 於是直線有了一個斜率。

直線斜率的負數給出了海岸的「分形維數」。例如挪威海岸的 D = 1. 52，它代表海岸處於維數爲 1 的直線和維數爲 2 的平面之間的某種狀況。 

 

8. 1/f 噪聲 -- 時間信號中的分形

在來自類星體的光波中（類星體是宇宙中巨大的、遙遠的星體）、高速公路交通中、以及全球溫度波動中，普遍存在一種叫作 1/f 噪聲的現象。

1887 到 1967 年的 80 年間從類星體上發出的光 (Press,1978)。其中包含慢的，以及中等範圍的起伏的模式（從幾分鐘到幾年）。這種類型的信號就是 1/f 噪聲

1865 年以來的全球溫度跟蹤(NASA)

這種信號能夠被看做是大大小小的波峯的疊加。它看起來像時間上的一種山脈的地貌，而不是空間上的。

這種信號也能夠等價地看做全部頻率的週期性信號的一種疊加。這也是代表在全部的時間標度上都有相同特徵的另一種表達方式。

正如挪威擁有大小各異的峽灣同樣，一個 1/f 信號也包含各類大小的波峯。它的分頻強度或「功率」相對於小的頻率來講反而要大，它的強度與頻率 f 成反比，這也是 1/f 的由來。

另外一個一個簡單的例子就是行駛在一條交通擁擠的公路上的汽車的車速。各類走走停停的時間長短不一，而時間的長短對應的是交通擁擠的程度，擁擠程度越高，則通行速度越低。對一條公路來講，整個路段的擁擠程度是各類擁擠程度的綜合疊加。

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筆者插入：

1/f 噪聲中，也一樣遵循」標度自由「特性。

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須要注意的是，1/f 噪聲雖然是各類頻率信號的綜合疊加，但它不是白噪聲。白噪聲在一個時刻的信號值和另外一時刻的信號值之間沒有任何關聯。

在下圖所示的白噪聲模式中，沒有緩慢的起伏，也就是說沒有大的波峯。

白噪聲聽起來更像收音機調臺時發出的「 嘶嘶」聲而不是樂音，而且它包括了全部的頻率，這些頻率在數量上也是統計一致的。  

 

9. 茲波夫定律

0x1：城市人口分佈中蘊含的標度自由性

在 1949 年出版的《人類行爲和最小努力原則》這本書中，哈佛大學的喬治·金斯里·茲波夫教授，闡述了他經過人類起源系統對許多簡單規律所作的大量振奮人心的發現。

下圖顯示出(大約在 1920 年)世界上有多少個城市的居民人數超過了一個給定的數字（800萬、100萬、20萬等不一樣區間）。

曲線在對數座標上大體是一條直線。茲波夫爲許多地理區域做了相似的圖 , 發現了它們都有着相同的行爲。 

0x2：文學做品中單詞分佈中蘊含的標度自由性

茲波夫也統計了單詞在一篇文學做品中的出現頻率分佈，如詹姆斯·喬伊斯的《尤利西斯》，或在一批美國報紙上的使用頻率。

• 使用頻率佔第 10 位的單詞「( 等級」爲 10 的單詞)出現了 2653 次。
• 使用頻率佔第 20 位的單詞出現 1311 次。
• 使用頻率佔第 20000 位的單 詞只出現了一次

下圖顯示了英語中單詞出現的頻率與它們的等級之間的關係。

• 等級爲 1 的單詞 the，出現的頻率爲 9%
• 等級爲 10 的 I 出現的頻率爲 1%
• 等級爲 100 的 say 出現的頻率爲 0.1%，
• 等等

這些數據是來自報紙仍是《聖經》，仍是《尤利西斯》都可有可無，曲線是同樣的。筆者曾經在DNS Tunnel異常檢測中，引入過zipf統計做爲特徵工程的一部分。

在對數圖上所做的關於等級與頻率之間的、斜率近似爲 1 的 直線所表達的規律就被稱爲【茲波夫定律】。

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筆者插入：

注意全部觀察到的現象都具備統計特徵。

• 古登堡—裏特定律描述的是每種量級的地震的數目，而不是何時什麼地點某個特定的地震會發生或確實已發生。
• 茲波夫定律處理的是一我的口範圍給定的城市的數目，而不是爲何某個特定的城市擁有 必定數量的居民。

不一樣的定律經過可測量的分佈函數得以表達。於是，一個用來解釋那些現象的理論必須也是統計性的。

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10. 冪次定律與臨界現象

某種東西在雙對數座標上是一條直線意味着什麼？數學上來講，那些直線被稱爲「冪次定律」，由於它們代表了某個量 N 能用 另一個量 s 的冪次表示出來：

在這裏，

• s能夠是地震中釋放出來的能量，而 N(s) 就是放出那個能量的地震的數目
• s能夠是峽灣的長度，而 N(s) 就是具備那種長度的峽灣的數目。

本質上，前面討論的【古登堡 -- 裏特定律】、【列維分佈】、【茲波夫定律】、【分形幾何】，其本質上都是冪次定律的一種特殊形式。

前3個可能比較好理解，可是分形幾何和冪次定律有什麼內在聯繫呢？

實際上，分形的特徵就是冪次規律的分佈賦予的。對上式兩邊都取對數咱們會發現：

這代表 logN(s) 和 logs 的關係在圖上表現出來是一條直線，冪次 τ 是直線的斜率。

例如，在茲波夫定律中居民數超過 s 的城市的數目可表示爲：

它是冪次爲 -1 的一個冪次定律。

本文中討論的現象基本上均可以用冪次定律表示出來。標度不變性能夠從直線到處看起來都同樣這個簡單的事實中看出來。在某個標度上並無什麼特徵使這個標度顯得很特別，沒有捲曲也沒有波峯。

於是，解釋複雜系統中呈現的統計特性這個問題數學上就轉化爲解釋潛在的冪次定律，而且要進一步轉化爲冪次的值這個問題。 

 

11. 相變系統中的複雜性

0x1：處於平衡態的系統不是複雜的

除了天然界中已經存在的種種複雜性現象以外（它們一直存在），大部分時候，物理世界都處於平衡態中，而平衡態不是複雜的。

由原子組成的氣體，以及平坦海灘上的沙灘都是處於平衡態的大系統，它們是「處於平衡的」。

若是一個平衡系統受到微小的干擾，例如在某個位置上一粒沙被推了一下，並不會有什麼發生。總的來講，處於平衡態的系統不會展示前面談到的任何有趣的行爲，例如巨大的災變、1/f 噪聲、以及分形等。 

除此以外，咱們在生物學和經濟學中發現的系統，像平坦的海灘上的沙同樣，處於一種穩定的平衡。

目前領導潮流的經濟理論，普適的平衡理論，認爲良好的市場、良好的理性等等因素，把經濟系統帶入一種穩定的納什平衡。

在這種狀態下，沒有任何人能經過任何行動改善他自身的處境。在平衡態中，微小的擾動或震動只會致使微小的變更。

系統的反應和做用強度的大小成正比，對平衡系統來講這種比例關係是「線性的」，偶然性是可有可無的，小的突發性事件永遠不可能帶來戲劇性的結果。平衡系統中大的波動只有在全部隨機事件都偶然地往同一方向發展時纔可能發生，而這種可能性幾乎是沒有的。

平衡系統的這種性質，其實對達爾文的進化論提出了很是尖銳的挑戰。

天然界被認爲從原則上來講是守恆的，這種觀點激勵了環保學家。絕不奇怪，在人的壽命時限內天然環境幾乎沒有什麼改變，於是平衡這個概念會顯得很是天然或者很直覺。然而，若是天然界處於平衡，那麼咱們最初是如何來到這個世上的？

若是天然界始終處於平衡，那麼它是如何演化的？除非發生了什麼重大的事情，致使天然系統進入相變狀態，由於只有相變狀態才具備複雜性。

正如古爾德和愛德喬指出的那樣，生物界中顯而易見的平衡只不過是處於行爲間歇爆發和舊物種滅亡新物種開始出現這二者之間的一段寧靜或鬱滯的時期。個別物種演化的進程，每每是經過零星的爆 發而進行。這種現象被稱爲【斷續平衡】。

斷續平衡的概念是複雜系統動力學的核心。巨大的間歇性的爆發在平衡系統中無立錐之地，但在歷史學、生物學和經濟學中它們無所不在。

0x2：相變系統中存在複雜性

天然界中每時每刻都在產生出不少新的複雜性系統和複雜現象。其中，孕育複雜性現象的一個最典型的前提條件就是【相變系統】。

咱們在以前的文章裏曾經簡單討論過相變。相變時，系統從無序狀態變化到有序狀態。

例如當溫度變化時，就在把兩相分開的臨界點（例如沸點）存在着由標度自由行爲表徵的複雜行爲，這些行爲處於各類大小的有序的範圍中。爲了達到臨界點，溫度必須調得很是精確，以便產生複雜行爲。

0x3：混沌不具備複雜性

須要明白的是，複雜性並不意味着毫無規律的混亂，隱藏在複雜性看似混亂的表面之下的內核，是遵循標度自由特性的冪律分佈。

可是，混沌系統倒是一個徹底無規律的噪聲系統，儘管混沌系統也能夠找到一些明確的動力學方程，可是由於內部多個動力方程之間造成的多體組合，致使混沌系統總體表現出了徹底的無序性。

在 19 世紀 80 年代，科學家對簡單動力學系統的理解發生了一場革命。一段時間以來人們意識到有多個自由度的系統可以展示混沌的行爲。不管咱們對它們的初始狀態知道得多清楚，甚至咱們對控制它們運動的方程有足夠的瞭解（例如馬爾薩斯人口模型），咱們都沒法預料它們未來的行爲。

混沌信號具備白噪聲譜, 而不是 1/f 譜。於是能夠說混沌系統只不過是一部成熟的隨機噪聲產生器。混沌系統沒有關於過去的記憶，於是沒法演化。

整體上說，混沌系統是不具備複雜性的，可是有一個例外，就是在臨界點的位置上，也就是混沌相變發生的地方。

在混沌相變發生的地方，存在相似 1/f 信號的複雜行爲。複雜態位於可預測的週期行爲和不可預測的混沌的分界面上。

綜上，混沌系統的複雜性只存在於某個很是特殊的點上，而在那些真正致使混沌的λ值的點上並不存在。混沌系統的複雜性並非穩固的。

所以，簡單的混沌系統不可以產生像挪威海岸那樣的一個空間分形結構。

 

12. 自組織臨界性 -- 關於產生複雜性緣由的理論

文章前面討論到的4種現象，

• 災變事件的分佈規則性
• 分形
• 1/f 噪聲
• 茲波夫定律

它們都有一個共同點，那就是在雙對數座標上它們都表現爲一條直線，即符合冪律分佈。

這就使得咱們考慮它們是否只是同一個原則的不一樣表示而已。這些複雜的行爲可以有一個相似牛頓定律（F=ma）這樣的定律嗎？也許【自組織臨界性】就是那個潛在的原理。 

所謂自組織，是指自組織臨界系統演化到複雜的臨界態時沒有受到任何外界做用的干預。

另外一方面，臨界性並非忽然就進入的。自組織過程發生時經歷了一個很是長的暫態時期。

不管是地球物理，仍是生物演化過程 , 老是由一個漫長的演化過程產生的。它不能經過在一個短週期時間內的研究系統而得以理解。

• 地震的規律不可以僅僅經過研究在人的壽命時限內發生的地震得以理解，而必須考慮億萬年以來發生的地球物理過程，而且要把咱們如今所觀察到的考慮在內。
• 生物進化不能經過在實驗室裏研究幾代老鼠和細菌的進化得以理解。
• 一個沙堆展現了斷續平衡行爲，其中鬱滯期因爲不斷有沙滑下而被打斷。沙的下滑或雪崩是由多米諾效應形成的，其中單個的沙粒推進一個或更多其餘的沙粒從而致使它們下滑。那些倒下的沙粒又輪流地以鏈式反應的方式和其餘沙粒相做用。大的雪崩，不是逐漸的改變，它把質的行爲和量的行爲連在一塊兒了，從而造成了突發現象的基礎。

若是自組織臨界性真的就是世界複雜性產生的底層緣由，而複雜性又是廣泛存在的。那麼咱們必須接受生物學、歷史學和經濟學的觀點 : 不穩定性和大的災難是不可避免的。

因爲過去那些特定的不重要事件的結果是偶然的，於是咱們也必須放棄詳盡的長期決定主義或可預測性的觀點。巨大的災難性的事件和天天都發生的微小事件都聽從一樣的動力學。這種發現和咱們一般思考大事件的方式背道而馳。

咱們一般的思考方式，老是尋找特定的緣由（例如一顆下落的隕石致使恐龍的滅絕）來解釋巨大的災難事件。但自組織臨界性告訴咱們，每個小事都是大事，每個大事都很普通。自組織臨界性能夠看做是災難主義的理論判據。

 

13. 筆者腦洞 

• 統計一下重大網絡安全漏洞的出現分佈，分析是否符合冪律分佈。傳統意義上，咱們認爲網絡安全漏洞的產生是因爲開發者缺少成熟的IT框架、缺少對應的安全編碼知識、以及對應白帽子的主動漏洞挖掘行爲所共同致使的，可是從宏觀上，也許存在有規律的分佈特徵