模板 旋轉卡殼 凸包

模板 旋轉卡殼 凸包

 

 

好早之前看的，如今再記下來吧，當作複習一遍。

那麼，先提一下最基本最暴力的求凸包直徑的方法吧---枚舉。。。好吧。。不少問題均可以用 枚舉 這個「萬能」的方法來解決，過程很簡單方即是確定的，不過在效率上就要差很遠了。  要求一個點集的直徑，即便先計算出這個點集的凸包，而後再枚舉凸包上的點對，這樣來求點集直徑的話依然會在凸包上點的數量達到O（n）級別是極大的下降它的效率，也浪費了凸包的優美性質。不過在數據量較小或者很適合時，何須要大費周折的用那些麻煩複雜的算法呢，枚舉依然是解決問題的很好的方法之一。

 

而後就是今天的旋轉卡殼算法了。

旋轉卡殼能夠用於求凸包的直徑、寬度，兩個不相交凸包間的最大距離和最小距離等。雖然算法的思想不難理解，可是實現起來真的很容易讓人「卡殼」。

其實簡單來講就是用一對平行線「卡」住凸包進行旋轉。

被一對卡殼正好卡住的對應點對稱爲對踵點，對鍾點的具體定義很差說，不過從圖上仍是比較好理解的。

能夠證實對踵點的個數不超過3N/2個 也就是說對踵點的個數是O(N)的

對踵點的個數也是咱們下面解決問題時間複雜度的保證。

 

卡殼呢，具體來講有兩種狀況：

1.

一種是這樣，兩個平行線正好卡着兩個點；

2.

 

一種是這樣，分別卡着一條邊和一個點。

而第二種狀況在實現中比較容易處理，這裏就只研究第二種狀況。

 

在第二種狀況中 咱們能夠看到 一個對踵點和對應邊之間的距離比其餘點要大

 

也就是一個對踵點和對應邊所造成的三角形是最大的 下面咱們會據此獲得對踵點的簡化求法。

下面給出一個官方的說明：

http://cgm.cs.mcgill.ca/~orm/rotcal.frame.html

Compute the polygon's extreme points in the y direction. Call them ymin and ymax. Construct two horizontal lines of support through ymin and ymax. Since this is already an anti-podal pair, compute the distance, and keep as maximum. Rotate the lines until one is flush with an edge of the polygon. A new anti-podal pair is determined. Compute the new distance, compare to old maximum, and update if necessary. Repeat steps 3 and 4 until the anti-podal pair considered is (ymin,ymax) again. Output the pair(s) determining the maximum as the diameter pair(s). 

要是真的按這個實現起來就麻煩到吐了。。

根據上面的第二種狀況，咱們能夠獲得下面的方法：

若是qa，qb是凸包上最遠兩點，必然能夠分別過qa，qb畫出一對平行線。經過旋轉這對平行線，咱們可讓它和凸包上的一條邊重合,如圖中藍色直線，能夠注意到，qa是凸包上離p和qb所在直線最遠的點。因而咱們的思路就是枚舉凸包上的全部邊，對每一條邊找出凸包上離該邊最遠的頂點，計算這個頂點到該邊兩個端點的距離，並記錄最大的值。

直觀上這是一個O(n2)的算法，和直接枚舉任意兩個頂點同樣了。

然而咱們能夠發現 凸包上的點依次與對應邊產生的距離成單峯函數（以下圖：）

 

這個性質就很重要啦。

 

根據這個凸包的特性，咱們注意到逆時針枚舉邊的時候，最遠點的變化也是逆時針的，這樣就能夠不用從頭計算最遠點，而能夠緊接着上一次的最遠點繼續計算。因而咱們獲得了O(n)的算法。這就是所謂的「旋轉」吧！

利用旋轉卡殼，咱們能夠在O（n）的時間內獲得凸包的對鍾點中的長度最長的點對。

 

又因爲最遠點對必然屬於對踵點對集合 ，那麼咱們先求出凸包 而後求出對踵點對集合 而後選出距離最大的便可。

 

 

那麼具體的代碼就很容易實現了，利用叉積，代碼只有這麼幾行的長度：

 1 double rotating_calipers(Point *ch,int n) 
 2 {
 3     int q=1;
 4     double ans=0;
 5     ch[n]=ch[0];
 6      for(int p=0;p<n;p++)
 7 {
 8       while(cross(ch[p+1],ch[q+1],ch[p])>cross(ch[p+1],ch[q],ch[p]))
 9             q=(q+1)%n;
10     ans=max(ans,max(dist(ch[p],ch[q]),dist(ch[p+1],ch[q+1])));
11      }
12 return ans;
13 }

其中cross()是計算叉積，由於凸包上距離一條邊最遠的點和這條邊的兩個端點構成的三角形面積是最大的。之因此既要更新(ch[p],ch[q])又要更新(ch[p+1],ch[q+1])是爲了處理凸包上兩條邊平行的特殊狀況。

下面是道很基礎的旋轉卡殼求凸包直徑的題了：

http://poj.org/problem?id=2187

http://acm.csu.edu.cn/OnlineJudge/problem.php?id=1393

用上面的知識很容易 解決，直接套兩個模板就能夠了。

直接代碼：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cmath>
 6 #define N 50005
 7 using namespace std;
 8 struct point
 9 {
10        int x,y;
11 }p[N];
12 int top,n,s[N];
13 int cross(point a,point b,point c)//叉積
14 {
15     return (b.x - a.x) * (c.y - a.y) - (c.x - a.x) * (b.y - a.y);
16 }
17 
18 int dis(point a,point b)//距離
19 {
20        return (a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y);
21 }
22 
23 bool cmp(point a,point b)
24 {
25      int ans = cross(p[0],a,b);
26      if( ans > 0 || (ans == 0 && dis(p[0],a) > dis(p[0],b) )) return true;
27      return false;
28 }
29 
30 void graham()//凸包模板。。
31 {
32      s[0] = 0;
33      s[1] = 1;
34      top = 1;
35      for(int i = 2;i != n ;i ++)
36      {
37              while(top && cross(p[s[top - 1]],p[s[top]],p[i] ) < 0) top--;
38              s[++top] = i;
39      }
40      top ++;
41 }
42 
43 void RC()//旋轉卡殼
44 {
45      int q,p1,pp,qq,rr,r,ans = 0;
46      q = 1;
47      ans = dis(p[s[0]],p[s[1]]);
48      for(int i = 0; i != top ;i ++)
49      {
50            while(abs(cross(p[s[(i+1)%top]],p[s[i%top]],p[s[(q+1)%top]])) > abs(cross(p[s[(i+1)%top]],p[s[i%top]],p[s[q%top]]))) q = (q + 1)%top;
51              ans = max(ans , max(dis(p[s[(i+1)%top]],p[s[q]]),dis(p[s[i%top]],p[s[q]])));
52      }
53      printf("%d\n",ans);
54 }
55      
56 int main()
57 {
58     while(~scanf("%d",&n))
59     {
60                           for(int i =0 ;i != n;i ++) scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
61                           int u = 0;
62                           for(int i = 1;i != n;i ++)//尋找基點
63                           {
64                                   if(p[u].y > p[i].y || (p[u].y == p[i].y && p[u].x > p[i].x)) u = i;
65                           }
66                           if(u)
67                           {
68                                swap(p[u].y,p[0].y);
69                                swap(p[u].x,p[0].x);
70                           }
71                           sort(p + 1,p + n,cmp);
72                           graham();
73                           RC();
74     }
75 return 0;
76 }

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