LOJ2687 BalticOI2013 Vim 線頭DP

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多圖警告！！！

一種很新奇的\(DP\)，全網彷佛只有一兩篇題解……

首先，序列中的一段\(e\)等價於在跳的過程當中這一段\(e\)以後的一個字符必需要通過，而且在最後的答案中加上$2 \times $e的個數。

那麼原題等價於：給出一個序列和兩種移動方式，移動過程當中必需要通過某一些點，求最小代價。

咱們不妨把若干連續的\(f\)操做和若干連續的\(h\)操做當作線，那麼移動路線就變成下面這樣

首先，考慮下面兩種移動路線

A路線必定沒有B路線優，由於A路線有重複的折返。

這樣說來：若是通過某些連續的\(f\)操做以後開始進行\(h\)操做，那麼必定會到達要到達的最前面的目標，而後一直進行\(f\)操做再也不回來。

到這裏不難設計出一個暴力的\(DP\)：設\(dp_{i,j}\)表示已經通過了前\(i\)個必經字符，當前光標在第\(j\)個字符時的最小代價。設字符集爲\(A\)，那麼這種\(DP\)是\(O(N^2A)\)的，不夠優秀。考慮優化。

發現上面的條件等價於對於某一個位置\(i\)，通過的位置覆蓋了位置\(i\)與\(i+1\)之間的線段的線的數量要麼是\(1\)，要麼是\(3\)，對應下圖的\(AB\)兩種狀況。

到了這裏就能夠開始設計更加優秀的\(DP\)了

設\(p_{i,j}\)表示覆蓋了\(i\)與\(i+1\)之間的線段\(1\)次，且覆蓋\(i\)與\(i+1\)之間的線段的\(f\)操做選擇的字符是\(j\)的最小代價，\(q_{i,j,k}\)表示覆蓋了\(i\)與\(i+1\)之間的線段\(3\)次，且在進行\(h\)操做以前覆蓋\(i\)與\(i+1\)之間的線段的\(f\)操做選擇的字符是\(j\)、在進行\(h\)操做以後覆蓋\(i\)與\(i+1\)之間的線段的\(f\)操做選擇的字符是\(k\)的最小代價

又設\(s_i\)表示字符串的第\(i\)個字符，\(imp_i\)表示原串中第\(i\)個字符前是否存在字符\(e\)

轉移：

\[\begin{align}p_{i,j} = & p_{i-1,j} & j \neq s_i \&\& imp_i \neq 1\\& p_{i-1,s_i} + 2 \\& q_{i-1,s_i,j} & j \neq s_i \\ & q_{i-1,s_i,s_i} + 2 \end{align}\]

\(p_{i,j}\)的轉移分別對應下圖的\(ABCD\)狀況

其中虛線表示新加入的線，紅色字表示對應位置的字符類型，黑色字表示位置編號

\(\begin{align} q_{i,j,k} = & p_{i-1,j} + 3 & j \neq s_i \\ & p_{i-1,s_i}+5 \\ & q_{i-1,j,k} + 1 & j \neq s_i \&\& k \neq s_i \\ & q_{i-1,s_i,k} + 3 & k \neq s_i \\ & q_{i-1,j,s_i} + 3 & j \neq s_i \\ & q_{i-1,s_i,s_i} + 5 \end{align}\)

\(q_{i,j,k}\)轉移分別對應下圖中的\(ABCDEF\)狀況

能夠發現轉移就是把線延長和補全的過程，因此叫作線頭DP

初始值：\(f_{0,s_1}=0\)，其餘等於\(inf\)。最後的答案是\(f_{len,x}\)，其中\(x\)是沒有在字符串中出現過的字符。這能夠理解成在無限遠的地方有一個字符\(x\)，最後一次操做就是直接跳到這一個無限遠的地方。固然，這意味着最後的答案會加上跳到這個無限遠的地方的\(2\)的代價，減掉\(2\)就好了。

Update：轉移\(q\)的時候並不知道爲何D有用，可是不轉移會WA

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
//This code is written by Itst
using namespace std;

inline int read(){
    int a = 0;
    char c = getchar();
    bool f = 0;
    while(!isdigit(c) && c != EOF){
        if(c == '-')
            f = 1;
        c = getchar();
    }
    if(c == EOF)
        exit(0);
    while(isdigit(c)){
        a = a * 10 + c - 48;
        c = getchar();
    }
    return f ? -a : a;
}

const int MAXN = 7e4 + 7 , A = 11;
int f[MAXN][A] , g[MAXN][A][A] , ch[MAXN];
bool must[MAXN];
int N , M , cnt;

inline char getc(){
    char c = getchar();
    while(!islower(c))
        c = getchar();
    return c;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    //freopen("in","r",stdin);
    //freopen("out","w",stdout);
#endif
    N = read();
    bool ife = 1;
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i){
        char c = getc();
        if(c == 'e')
            cnt += (ife = 1);
        else{
            must[++M] = ife;
            ife = 0;
            ch[M] = c - 'a';
        }
    }
    for(int i = 0 ; i < A ; ++i){
        for(int j = 0 ; j < A ; ++j)
            g[0][i][j] = INF;
        f[0][i] = INF;
    }
    f[0][ch[1]] = 0;
    for(int i = 1 ; i <= M ; ++i)
        for(int j = 0 ; j < A ; ++j){
            int t = INF;
            if(j != ch[i] && !must[i])
                t = min(t , f[i - 1][j]);
            t = min(t , f[i - 1][ch[i]] + 2);
            if(j != ch[i])
                t = min(t , g[i - 1][ch[i]][j]);
            t = min(t , g[i - 1][ch[i]][ch[i]] + 2);
            f[i][j] = t;
            for(int k = 0 ; k < A ; ++k){
                t = INF;
                if(j != ch[i])
                    t = min(t , f[i - 1][j] + 3);
                t = min(t , f[i - 1][ch[i]] + 5);
                if(j != ch[i] && k != ch[i])
                    t = min(t , g[i - 1][j][k] + 1);
                if(j != ch[i])
                    t = min(t , g[i - 1][j][ch[i]] + 3);
                if(k != ch[i])
                    t = min(t , g[i - 1][ch[i]][k] + 3);
                t = min(t , g[i - 1][ch[i]][ch[i]] + 5);
                g[i][j][k] = t;
            }
        }
    cout << f[M][10] + 2 * cnt - 2;
    return 0;
}