等額本金和等額本息還款

不管哪一種還款方式：

月還款額 = 當月應還本金 + 當月應還利息

當月應還利息 = 上月剩餘本金 × 月利率

當月剩餘本金 = 上月剩餘本金 - 當月還款本金

等額本金還款方式

每次還款的本金相同

當月利息 = 上月剩餘本金 × 月利率

記:

借款總額=a

月利率=r

借款期數=t

則

月還本金mp = a/t

第i次還款的計息本金 = a - (i - 1)a/t = a(t - i + 1)/t，i取值爲1...n

月還利息mi = ar(t - i + 1)/t

總利息 = m1 + ... + mn = ar(t + ... + 1) = ar(t + 1)/2

等額本息還款方式

每一個月的還款額固定，但還款的利息比重逐漸減少，本金的還款額逐月增長

記

借款總額=a

月利率=r

借款期數=t

每個月應還本息爲=m

則

第1期應還的利息x₁ = ar

第1期應還本金p₁ = m - ar

第1期剩餘本金q₁ = a - p₁ = a - (m-ar) = a(1 + r) - m

第2期應還的利息x₂ = q₁r

第2期應還本金p₂ = m - x₂ = m - q₁r

第2期剩餘本金q₂ = q₁ - p₂ = q₁ - (m - q₁r) = q₁(1+r) - m = [a(1 + r) - m](1+r) - m = a(1 + r)² - [1 + (1 + r)]m

第3期應還的利息x₃ = q₂r

第3期應還本金p₃ = m - x₃ = m - q₂r

第3期剩餘本金q₃ = q₂ - p₃ = q₂ - (m - q₂r) = q₂(1+r) - m = {a(1 + r)² - [1 + (r + 1)]m}(1+r) - m = a(1 + r)³ - [1 + (1 + r) + (1 + r)²]m

猜測

q_n = a(1 + r)ⁿ -[1 + (1 + r) + (1 + r)² + ... + (1 + r)^n-1]

證實:

第n期應還的利息x_n = q_n-1r

第n期應還本金p_n = m - x_n = m - q_n-1r

第n期剩餘本金q_n = q_n-1 - p_n = q_n-1 - (m - q_n-1r) = q_n-1(1+r) - m

即

q_n = q_n-1(1 + r) - m    ①

q_n-1 = q_n-2(1 + r) - m   ②

q_n-2 = q_n-3(1 + r) - m   ③

...

q₃ = q₂(1 + r) - m      ④

q₂ = q₁(1 + r) - m      ⑤

q₁ = a(1 +r ) - m       ⑥

②兩邊同乘以 (1 + r)，③兩邊同乘以(1 + r)²， .... ⑥兩邊同乘以(1 + r)^n-1，得

q_n = q_n-1(1 + r) - m                    

(1 + r)q_n-1 = q_n-2(1 + r)² - m(1 + r)         

(1 + r)²q_n-2 = q_n-3(1 + r)³ - m(1 + r)²        

...

(1 + r)^n-3q₃ = q₂(1 + r)^n-2 - m(1 + r)^n-3

(1 + r)^n-2q₂ = q₁(1 + r)^n-1 - m(1 + r)^n-2

(1 + r)^n-1q₁ = a(1 +r )ⁿ - m(1 + r)^n-1

兩邊相加，得

q_n = a(1+r)ⁿ - m[1 + (1+r) + (1 + r)² + .. + (1 + r)^n-1] 

  = a(1+r)ⁿ -m(1 - (1+r)ⁿ)/(1 - (1+r))

因爲qn = 0, 則每個月還款本息

m = ar(1 + r)ⁿ/[(1 + r)ⁿ - 1]