ACM數論之旅16---母函數（又名生成函數）（痛並快樂着(╭￣3￣)╭）

時間 2019-12-09

標籤 acm 數論之旅母函數又名生成函數快樂欄目應用數學简体版

原文原文鏈接

（前排出售零食瓜子）php

前言：算法

母函數是個很難的東西，難在數學ide

而ACM中所用的母函數只是母函數的基礎函數

應該說除了很差理解外，其餘都是很是簡單的工具

母函數即生成函數，是組合數學中尤爲是計數方面的一個重要理論和工具。spa

可是ACM中的母函數木有像數學那麼深究，應用的都是母函數的一些基本3d

（就比如方程的配方，因式的分解，寫起來容易，你用電腦寫起來就麻煩了，因此學計算機就不要老跟數學家瞎鬧(￣３￣)）code

什麼是母函數blog

就是把一個已知的序列和x的多項式合併起來，新產生的多項式就叫原來序列的母函數ci

至於怎麼合併，看這個例子

序列{0,1，2，3，4，5...n}的母函數就是

f(x)=0+x+2x^2+3x^3+4x^4+...+nx^n（這個x沒有任何意義，應該說，你不須要把它當作一個函數，你只要知道母函數這麼寫就能夠了）

序列{1,1,1,1,1......}的母函數就是

f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4....

二項式展開的序列好比這個{1,4,6,4,1,0,0,0,0,0.....}是C(4,0)到C(4,4)的係數，那它的母函數就是

f(x)=1+4x+6x^2+4x^3+1x^4

母函數就長這樣，對正常人來說，這種東西毫無心義( ° △ °|||)

那看點有意義的東西（如下都是經典題型，我從杭電ACM課件抄來的）

有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？

假如x的冪次數表示幾克的砝碼

那麼

1克的砝碼錶示爲1+x^1

2克的砝碼錶示爲1+x^2

3克的砝碼錶示爲1+x^3

4克的砝碼錶示爲1+x^4

每一個砝碼均可以選擇取或不取

因此這裏的1能夠認爲1*x^0，表示不取這顆砝碼

那麼把這些乘起來

(1+x^1)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=1+(x^1)+(x^2)+2(x^3)+2(x^4)+2(x^5)+2(x^6)+2(x^7)+(x^8)+(x^9)+(x^10)

根據指數來看，咱們能夠稱出0~10這麼多的重量，其中3~7的係數爲2，說明有2種稱的方法

那麼咱們來細看一遍

0：（什麼砝碼都不放）.......................（1種）

1：1.............................................（1種）

2：2.............................................（1種）

3：3或1+2.....................................（2種）

4：4或1+3.....................................（2種）

5：1+4或2+3.................................（2種）

6：2+4或1+2+3..............................（2種）

7：3+4或1+2+4..............................（2種）

8：1+3+4......................................（1種）

9：2+3+4......................................（1種）

10：1+2+3+4.................................（1種）

分絕不差(・ˍ・*)

因此說母函數在ACM就是這麼用的，跟函數不要緊，跟寫法有關係。。。

再來一題

求用1分、2分、3分的郵票貼出不一樣數值的方案數：（每張郵票的數量是無限的）

那麼

1分：(1+x^1+x^2+x^3+x^4+......)

2分：(1+x^2+x^4+x^6+x^8+......)

3分：(1+x^3+x^6+x^9+x^12+......)

而後這3個乘起來（讓電腦去乘吧）

對於這種無限的，題目確定會給你他詢問的數值的範圍，計算到最大的範圍就能夠了

附代碼：

 1 #include<cstdio>
 2 typedef long long LL;
 3 const int N = 100 + 5;//假如題目只問到100爲止 
 4 const int MAX = 3;//題目只有1,2,3這3種郵票 
 5 LL c1[N], c2[N];//c2是臨時合併的多項式，c1是最終合併的多項式 
 6 int n;
 7 void init(){
 8     c1[0] = 1;//一開始0的狀況算一種 
 9     for(int i = 1; i <= MAX; i ++){//把1分到MAXN的郵票合併，變成一個多項式 
10         for(int j = 0; j < N; j += i){//i分的郵票，步長是i
11             for(int k = 0; j + k < N; k ++){//從x^0到x^N遍歷一遍 
12                 c2[j + k] += c1[k];//由於j的全部項係數爲1，因此c1[k]能夠當作c1[k]*1; 
13             }
14         } 
15         for(int j = 0; j < N; j ++){//把c2的數據抄到c1，清空c2 
16             c1[j] = c2[j];
17             c2[j] = 0;
18         }
19     }
20 } 
21 int main(){
22     init();
23     while(scanf("%d", &n) != EOF){
24         printf("%I64d\n", c1[n]);
25     }
26 }

咱們就來把這個模板用於實際吧

hdu 1028

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

題目問一個數字n可以拆成多少種數字的和

好比n=4

4 = 4;
  4 = 3 + 1;
  4 = 2 + 2;
  4 = 2 + 1 + 1;
  4 = 1 + 1 + 1 + 1;

有5種，那麼答案就是5

AC代碼：

 1 #include<cstdio>
 2 typedef long long LL;
 3 const int N = 120 + 5;
 4 const int MAX = 120 + 5;
 5 LL c1[N], c2[N];
 6 int n;
 7 void init(){
 8     c1[0] = 1;
 9     for(int i = 1; i <= MAX; i ++){
10         for(int j = 0; j < N; j += i){
11             for(int k = 0; j + k < N; k ++){
12                 c2[j + k] += c1[k];
13             }
14         } 
15         for(int j = 0; j < N; j ++){
16             c1[j] = c2[j];
17             c2[j] = 0;
18         }
19     }
20 } 
21 int main(){
22     init();
23     while(scanf("%d", &n) != EOF){
24         printf("%I64d\n", c1[n]);
25     }
26 }

View Code

再來，hdu 1398

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398

題目說一個國家的硬幣都是方形的，面值也是方形的

有1塊錢，4塊錢，9塊錢，16塊錢......一直到289塊錢（17^2）

問想組成n塊錢有幾種方法

AC代碼：

 1 #include<cstdio>
 2 typedef long long LL;
 3 const int N = 300 + 5;
 4 const int MAX = 17;
 5 LL c1[N], c2[N];
 6 int n;
 7 void init(){
 8     c1[0] = 1;
 9     for(int i = 1; i <= MAX; i ++){
10         for(int j = 0; j < N; j += i*i){
11             for(int k = 0; j + k < N; k ++){
12                 c2[j + k] += c1[k];
13             }
14         } 
15         for(int j = 0; j < N; j ++){
16             c1[j] = c2[j];
17             c2[j] = 0;
18         }
19     }
20 } 
21 int main(){
22     init();
23     while(scanf("%d", &n) != EOF && n){
24         printf("%I64d\n", c1[n]);
25     }
26 }

View Code

都是改一些小地方，都是模板題(oﾟωﾟo)

最後一道

hdu 1085

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

AC代碼：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 typedef long long LL;
 4 const int N = 1000 * (1+2+5) + 5;
 5 int cost[3] = {1, 2, 5};
 6 LL c1[N], c2[N];
 7 int num[3];
 8 int MAX;
 9 int main(){
10     while(~scanf("%d%d%d", &num[0], &num[1], &num[2])){
11         if(num[0] == 0 && num[1] == 0 && num[2] == 0) break;
12         memset(c1, 0, sizeof(c1));
13         memset(c2, 0, sizeof(c2));
14         MAX = num[0] + num[1] * 2 + num[2] * 5;//計算最大值
15         c1[0] = 1;
16         for(int i = 0; i < 3; i ++){
17             for(int j = 0; j <= num[i] * cost[i]; j += cost[i]){
18                 for(int k = 0; j + k <= MAX; k ++){
19                     c2[j + k] += c1[k];
20                 }
21             } 
22             for(int j = 0; j < N; j ++){
23                 c1[j] = c2[j];
24                 c2[j] = 0;
25             }
26         }
27         for(int i = 1; i <= MAX + 1; i ++){
28             if(!c1[i]){
29                 printf("%d\n", i);
30                 break;
31             }
32         }
33     }
34 }

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母函數在數學上真的用處很大，可是我沒怎麼看到在ACM上有什麼太大的用處（可能我作的題還不夠多 T_T）

好比剛剛上面的3個例題，都有更快的作法

第一題：動態規劃，時間複雜度O(n^2)

 1 #include<cstdio>
 2 const int N = 120 + 5;
 3 int dp[N];
 4 int n;
 5 void init(){
 6     dp[0] = 1;
 7     for(int i = 1; i < N; i ++){
 8         for(int j = i; j < N; j ++){
 9             dp[j] += dp[j - i];
10         }
11     }
12 }
13 int main(){
14     init();
15     while(scanf("%d", &n) != EOF){
16         printf("%d\n", dp[n]);
17     }
18 }

View Code

第二題：動態規劃，時間複雜度O(n^2)

 1 #include<cstdio>
 2 const int N = 300 + 5;
 3 int dp[N];
 4 int n;
 5 void init(){
 6     dp[0] = 1;
 7     for(int i = 1; i <= 17; i ++){
 8         for(int j = i*i; j < N; j ++){
 9             dp[j] += dp[j - i*i];
10         }
11     }
12 }
13 int main(){
14     init();
15     while(scanf("%d", &n) != EOF && n){
16         printf("%d\n", dp[n]);
17     }
18 }

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第三題：≖‿≖✧特判就行了，時間複雜度O(1)

 1 #include<cstdio>
 2 int a, b, c;
 3 int ans;
 4 int main(){
 5     while(~scanf("%d%d%d", &a, &b, &c) && (a || b || c)){
 6         if(a >= 4 || a >= 2 && b >= 1 || a >= 1 && b >= 2) ans = a + 2*b + 5*c + 1;
 7         else if(a == 0) ans = 1;
 8         else ans = a + 2*b + 1;
 9         printf("%d\n", ans);
10     }
11 }