矩量母函數(Moment Generating Function，mgf，又稱：動差生成函數)

在統計學中，矩又被稱爲動差(Moment)。矩量母函數(Moment Generating Function,簡稱mgf)又被稱爲動差生成函數。

稱exp(tξ)的數學指望爲隨機變量ξ的矩量母函數，記做mξ(t)=E(exp(tξ)). [1] 

連續型隨機變量ξ的MGF爲：mξ(t)=∫exp(tx)f(x)dx,積分區間爲(-∞,+∞)，f(x)爲ξ的機率密度函數。

離散型隨機變量ξ的MGF爲：mξ(t)=∑exp(tx)p(ξ=x),其中連加號表明對ξ的全部取值連加，p(ξ=x)爲ξ的機率分佈函數。

矩量母函數存在當且僅當上述積分(連加)極限存在。

 

性質：

（1）若是兩個隨機變量具備相同的mgf，那麼它們具備相同的 機率分佈； 反之， 若是兩個隨機變量具備相同的機率分佈， 它們的mgf也相同。（即在mgf存在的狀況下，隨機變量的mgf與其機率分佈相互惟一肯定。）

（2） 獨立隨機變量和的mgf等於每一個隨機變量mgf的乘積。

咱們從新回到對單隨機變量分佈的研究。描述量是從分佈中提取出的一個數值，用來表示分佈的某個特徵。以前使用了兩個描述量，即指望和方差。在指望和方差以外，還有其它的描述量嗎？