虛樹

對於一株樹，若是咱們須要在一株n個結點組成的樹上作樹上DP，可是其中僅有m個結點須要特殊處理。顯然咱們能夠在原樹上作一次完整的樹上DP，其時間複雜度爲O(n)。可是有的時候m遠小於n，且這種請求可能不止發生一次，那麼咱們將沒法在給定時間內完成任務。

實際上每次DP真正涉及到的結點數並很少，其僅爲m個結點以及m個結點中任意兩個結點的lca。因此若是咱們能借助這些m個結點和結點對所指出的lca按照樹中的祖前後代關係重組一株新樹，樹的大小將大幅縮小，這樣就能完成任務了，而新創建的樹稱爲虛樹。

說一下流程：

1.首先咱們對樹進行先序遍歷，並按照結點訪問的順序記錄結點屬性dfn，dfn越小表示其在先序遍歷時越早被訪問。這部分時間複雜度爲O(n)。

2.以後咱們利用st或樹上倍增算法對樹進行預處理，這部分時間複雜度爲O(nlog2n)。

3.以後咱們處理全部的請求，對每一個請求創建虛樹，並在虛樹上作DP操做。

創建虛樹的流程以下：

1.選取全部特殊結點，並加入到列表中。

2.對列表按照dfn屬性進行從小到大排序。

3.將每一個列表中的特殊結點與與其左右相鄰的特殊結點之間的lca加入到列表中。

4.從新按照dfn屬性排序列表。

5.創建一個棧，將列表中dfn屬性最小（下標最小）的結點加入到棧中。

6.以後從前到後遍歷列表中的剩餘元素。彈出棧尾全部非當前遍歷元素祖先的結點，並將當前遍歷元素的虛樹父親設爲棧尾元素，以後將當前遍歷元素加入到棧尾。重複這個過程。

 

先說明創建虛樹的步驟3會將任意兩個特殊結點的lca加入到虛樹中。考慮a，b，c爲三個先後相鄰的特殊結點。很顯然lca(a,b)與lca(b,c)有祖前後代關係，由於兩者均爲b的祖先，且lca(a,c)=lca(lca(a,b),lca(b,c))。故利用傳遞性咱們能保證任意兩個特殊結點的lca都被加入到了列表中。

而第5步，咱們創建棧並將dfn屬性最小的結點加入到棧中，若棧尾元素不是當前遍歷元素的祖先結點，而當前遍歷元素必定處於棧中，則表示棧尾元素所表明的子樹已經創建完畢，咱們將其彈出則表示不會有新的結點追加到其後。（這都是dfn的性質）

 

很顯然對於m個特殊結點，咱們僅僅選出了擁有2m-1個結點，即咱們創建的樹相對於問題的規模是線性的。