動畫 | 什麼是希爾排序？

希爾排序屬性

上篇寫的直接插入排序算法時間複雜度是O(n^2)，如果要令此排序算法的時間複雜度要低於O(n^2)，必須是「遠距離的元素交換」使得這組元素能提高有序的程度，然後進行直接插入排序的時候可以減少交換的工作量。

那通過什麼減少交換的工作量呢？希爾排序可以解決這個問題。

希爾排序在做直接插入排序之前，希望可以對原整個待排序列進行預處理，目的是爲了最後一步直接插入排序的時候可以減少交換次數，同時也減少時間上的消耗。

假定數組初始狀態：5，1，9，3，7，4，8，6，2

然後設定初始增量是gap = length / 2 = 9 / 2 = 4，意味着兩個元素之間比較和交換的距離都是4（隔着3個元素），然後也會被分成4組，【5，7，2】，【1，4】，【9，8】，【3，6】。

對這5組分別進行直接插入排序，在代碼的進行中，它們都是穿插的進行直接插入排序，待會在下面視頻動畫可以看到。

對4組進行完排序的時候接着逐步縮小增量，gap = 4 / 2 = 2，說明兩個元素待會比較和交換的距離都是2，被分爲兩組，對着兩組也進行排序。

最後增量縮小爲1，這時候就是純正的直接插入排序了，因爲在前面進行了預處理，使得這整個序列進行了「粗略調整」，在做最後一步的直接插入排序的時候，如果待排序列明顯有序的話，就真正減少了交換的次數，也真正減少了時間上的消耗。

（在做動畫的過程中，中間出錯了一個元素交換，已修正，播放的時候中間部分動作會有點趕）。

視頻動畫：希爾排序交換法

算法動畫視頻 地址

Code

Result

初始狀態 [5, 1, 9, 3, 7, 4, 8, 6, 2]4增量交換 [5, 1, 8, 3, 7, 4, 9, 6, 2]交換 [5, 1, 8, 3, 2, 4, 9, 6, 7]交換 [2, 1, 8, 3, 5, 4, 9, 6, 7]2增量交換 [2, 1, 5, 3, 8, 4, 9, 6, 7]交換 [2, 1, 5, 3, 8, 4, 7, 6, 9]交換 [2, 1, 5, 3, 7, 4, 8, 6, 9]1增量交換 [1, 2, 5, 3, 7, 4, 8, 6, 9]交換 [1, 2, 3, 5, 7, 4, 8, 6, 9]交換 [1, 2, 3, 5, 4, 7, 8, 6, 9]交換 [1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 6, 9]交換 [1, 2, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 9]交換 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

我們爲了減少交換的次數，也可以繼續優化，採用移動法的方式也可以減少交換的時間消耗。

視頻動畫：希爾排序移動法

算法動畫視頻 地址

Code

Result

初始狀態 [5, 1, 9, 3, 7, 4, 8, 6, 2]4增量移動 [5, 1, 9, 3, 7, 4, 9, 6, 2]移動 [5, 1, 8, 3, 7, 4, 9, 6, 7]移動 [5, 1, 8, 3, 5, 4, 9, 6, 7]2增量移動 [2, 1, 8, 3, 8, 4, 9, 6, 7]移動 [2, 1, 5, 3, 8, 4, 9, 6, 9]移動 [2, 1, 5, 3, 8, 4, 8, 6, 9]1增量移動 [2, 2, 5, 3, 7, 4, 8, 6, 9]移動 [1, 2, 5, 5, 7, 4, 8, 6, 9]移動 [1, 2, 3, 5, 7, 7, 8, 6, 9]移動 [1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 6, 9]移動 [1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 8, 9]移動 [1, 2, 3, 4, 5, 7, 7, 8, 9]

希爾增量（Shell增量序列）

上面的過程使用的{4，2，1}被稱爲希爾排序的增量，是逐步折半縮小增量的過程。Shell增量序列的遞推公式爲：

Shell增量序列的最壞時間複雜度爲 O(n^2)。

希爾排序的增量序列的選擇有很多種，關於那些增量序列的選擇證明和過程比較複雜，就不糾結了。本文即將給出兩個案例，它們都可能比Shell增量序列要好：Hibbard增量序列和Sedgewick增量序列。

Hibbard增量序列

Hibbard增量序列的通項公式爲：

Hibbard增量序列的遞推公式爲：

Hibbard 增量序列的最壞時間複雜度爲 O(n^(3/2))；平均時間複雜度約爲 O(n^(5/4))。

Code

得到的，是比length小的最大初始增量。然後在下面代碼中只修改獲取初始增量的一步就好了，縮減方式和希爾增量一樣的，不做修改。

Sedgewick增量序列

Sedgewick增量序列的通項公式爲：

Sedgewick 增量序列的最壞時間複雜度爲 O(n^(4/3))；平均時間複雜度約爲 O(n^(7/6))。

初次看這段公式的時候突然有點看不懂了，仔細看看原來是中間還有個小逗號，意思是這兩個增量序列的並查集，拿到比length小的最大值（初始增量）就可以了。

Code

這過程有點複雜，因爲存在兩段公式的關係，不能直接求得初始增量就可以了，還要考慮到縮小增量的下一個數應該用哪個公式。採用的方式創建動態數組，在while(增量

上面解釋一下「<<」的運算符，它是轉化成二進制然後左移幾位的算法，例如9<<1，9轉化成二進制1001，然後左移一位，後面補零得10010，轉化爲十進制就是18，相當於9*2=18。

再例如7<<2，7轉化爲二進制111，左移兩位成11100，轉化爲十進制就是32，相當於7*(2^2)=32。

」>>」運算符也是同樣的，相當於除以2的幾次方。

下面代碼獲取初始增量的也要修改，增量縮減方式也要相應的修改，然後其它的代碼不變。

本文介紹了希爾排序的基本思想、優化以及代碼的實現，包括後面兩個增量序列的選擇。增列序列的選擇方式對希爾排序也很重要，直接影響到希爾排序的性能。

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