1.導數定義:html
導數和微分的概念算法
(1)函數
或者:htm
(2)對象
2.左右導數導數的幾何意義和物理意義事件
函數在
處的左、右導數分別定義爲:內存
左導數:get
右導數:數學
3.函數的可導性與連續性之間的關係it
Th1: 函數在
處可微
在
處可導
Th2: 若函數在點處可導,則
在點
處連續,反之則不成立。即函數連續不必定可導。
Th3: 存在
4.平面曲線的切線和法線
切線方程 : 法線方程:
5.四則運算法則 設函數]在點
可導則 (1)
(2)
(3)
6.基本導數與微分表 (1) (常數)
(2)
(
爲實數)
(3)
特例:
(4)
特例:
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
7.複合函數,反函數,隱函數以及參數方程所肯定的函數的微分法
(1) 反函數的運算法則: 設在點
的某鄰域內單調連續,在點
處可導且
,則其反函數在點
所對應的
處可導,而且有
(2) 複合函數的運算法則:若
在點
可導,而
在對應點
(
)可導,則複合函數
在點
可導,且
(3) 隱函數導數
的求法通常有三種方法: 1)方程兩邊對
求導,要記住
是
的函數,則
的函數是
的複合函數.例如
,
,
,
等均是
的複合函數. 對
求導應按複合函數連鎖法則作. 2)公式法.由
知
,其中,
,
分別表示
對
和
的偏導數 3)利用微分形式不變性
8.經常使用高階導數公式
(1) (2)
(3)
(4)
(5)
(6)萊布尼茲公式:若
均
階可導,則
,其中
,
9.微分中值定理,泰勒公式
Th1:(費馬定理)
若函數知足條件: (1)函數
在
的某鄰域內有定義,而且在此鄰域內恆有
或
,
(2) 在
處可導,則有
Th2:(羅爾定理)
設函數知足條件: (1)在閉區間
上連續;
(2)在內可導;
(3);
則在內一存在個
,使
Th3: (拉格朗日中值定理)
設函數知足條件: (1)在
上連續;
(2)在內可導;
則在內一存在個
,使
Th4: (柯西中值定理)
設函數,
知足條件: (1) 在
上連續;
(2) 在內可導且
,
均存在,且
則在內存在一個
,使
10.洛必達法則 法則Ⅰ (型) 設函數
知足條件:
;
在
的鄰域內可導,(在
處可除外)且
;
存在(或
)。
則: 。 法則
(
型)設函數
知足條件:
;
存在一個,當
時,
可導,且
;
存在(或
)。
則: 法則Ⅱ(
型) 設函數
知足條件:
;
在
的鄰域內可導(在
處可除外)且
;
存在(或
)。則
同理法則
(
型)仿法則
可寫出。
11.泰勒公式
設函數在點
處的某鄰域內具備
階導數,則對該鄰域內異於
的任意點
,在
與
之間至少存在 一個
,使得:
其中
稱爲
在點
處的
階泰勒餘項。
令,則
階泰勒公式
……(1) 其中
,
在0與
之間.(1)式稱爲麥克勞林公式
經常使用五種函數在處的泰勒公式
(1)
或
(2)
或
(3)
或
(4)
或
(5)
或
12.函數單調性的判斷 Th1: 設函數在
區間內可導,若是對
,都有
(或
),則函數
在
內是單調增長的(或單調減小)
Th2: (取極值的必要條件)設函數在
處可導,且在
處取極值,則
。
Th3: (取極值的第一充分條件)設函數在
的某一鄰域內可微,且
(或
在
處連續,但
不存在。) (1)若當
通過
時,
由「+」變「-」,則
爲極大值; (2)若當
通過
時,
由「-」變「+」,則
爲極小值; (3)若
通過
的兩側不變號,則
不是極值。
Th4: (取極值的第二充分條件)設在點
處有
,且
,則 當
時,
爲極大值; 當
時,
爲極小值。 注:若是
,此方法失效。
13.漸近線的求法 (1)水平漸近線 若,或
,則
稱爲函數
的水平漸近線。
(2)鉛直漸近線 若,或
,則
稱爲
的鉛直漸近線。
(3)斜漸近線 若,則
稱爲
的斜漸近線。
14.函數凹凸性的判斷 Th1: (凹凸性的判別定理)若在I上(或
),則
在I上是凸的(或凹的)。
Th2: (拐點的判別定理1)若在處
,(或
不存在),當
變更通過
時,
變號,則
爲拐點。
Th3: (拐點的判別定理2)設在
點的某鄰域內有三階導數,且
,
,則
爲拐點。
15.弧微分
16.曲率
曲線在點
處的曲率
。 對於參數方程
。
17.曲率半徑
曲線在點處的曲率
與曲線在點
處的曲率半徑
有以下關係:
。
1.行列式按行(列)展開定理
(1) 設,則:
或即
其中:
(2) 設爲
階方陣,則
,但
不必定成立。
(3) ,
爲
階方陣。
(4) 設爲
階方陣,
(若
可逆),
(5) ,
爲方陣,但
。
(6) 範德蒙行列式
設是
階方陣,
是
的
個特徵值,則
矩陣:個數
排成
行
列的表格
稱爲矩陣,簡記爲
,或者
。若
,則稱
是
階矩陣或
階方陣。
矩陣的線性運算
1.矩陣的加法
設是兩個
矩陣,則
矩陣
稱爲矩陣
與
的和,記爲
。
2.矩陣的數乘
設是
矩陣,
是一個常數,則
矩陣
稱爲數
與矩陣
的數乘,記爲
。
3.矩陣的乘法
設是
矩陣,
是
矩陣,那麼
矩陣
,其中
稱爲
的乘積,記爲
。
4. 、
、
三者之間的關係
(1)
(2)
但 不必定成立。
(3) ,
但不必定成立。
(4)
5.有關的結論
(1)
(2)
(3) 若可逆,則
(4) 若爲
階方陣,則:
6.有關的結論
可逆
能夠表示爲初等矩陣的乘積;
。
7.有關矩陣秩的結論
(1) 秩=行秩=列秩;
(2)
(3) ;
(4)
(5) 初等變換不改變矩陣的秩
(6) 特別若
則:
(7) 若存在
若
存在
若 若
。
(8) 只有零解
8.分塊求逆公式
;
;
;
這裏,
均爲可逆方陣。
1.有關向量組的線性表示
(1)線性相關
至少有一個向量能夠用其他向量線性表示。
(2)線性無關,
,
線性相關
能夠由
惟一線性表示。
(3) 能夠由
線性表示
。
2.有關向量組的線性相關性
(1)部分相關,總體相關;總體無關,部分無關.
(2) ① 個
維向量
線性無關
,
個
維向量
線性相關
。
② 個
維向量線性相關。
③ 若線性無關,則添加份量後仍線性無關;或一組向量線性相關,去掉某些份量後仍線性相關。
3.有關向量組的線性表示
(1) 線性相關
至少有一個向量能夠用其他向量線性表示。
(2) 線性無關,
,
線性相關
能夠由
惟一線性表示。
(3) 能夠由
線性表示
4.向量組的秩與矩陣的秩之間的關係
設,則
的秩
與
的行列向量組的線性相關性關係爲:
(1) 若,則
的行向量組線性無關。
(2) 若,則
的行向量組線性相關。
(3) 若,則
的列向量組線性無關。
(4) 若,則
的列向量組線性相關。
5.維向量空間的基變換公式及過渡矩陣
若與
是向量空間
的兩組基,則基變換公式爲:
其中是可逆矩陣,稱爲由基
到基
的過渡矩陣。
6.座標變換公式
若向量在基
與基
的座標分別是
,
即:
,則向量座標變換公式爲
或
,其中
是從基
到基
的過渡矩陣。
7.向量的內積
8.Schmidt正交化
若線性無關,則可構造
使其兩兩正交,且
僅是
的線性組合
,再把
單位化,記
,則
是規範正交向量組。其中
,
,
,
............
9.正交基及規範正交基
向量空間一組基中的向量若是兩兩正交,就稱爲正交基;若正交基中每一個向量都是單位向量,就稱其爲規範正交基。
1.克萊姆法則
線性方程組,若是係數行列式
,則方程組有惟一解,
,其中
是把
中第
列元素換成方程組右端的常數列所得的行列式。
2. 階矩陣
可逆
只有零解。
總有惟一解,通常地,
只有零解。
3.非奇次線性方程組有解的充分必要條件,線性方程組解的性質和解的結構
(1) 設爲
矩陣,若
,則對
而言必有
,從而
有解。
(2) 設爲
的解,則
當
時仍爲
的解;但當
時,則爲
的解。特別
爲
的解;
爲
的解。
(3) 非齊次線性方程組無解
不能由
的列向量
線性表示。
4.奇次線性方程組的基礎解系和通解,解空間,非奇次線性方程組的通解
(1) 齊次方程組恆有解(必有零解)。當有非零解時,因爲解向量的任意線性組合還是該齊次方程組的解向量,所以
的全體解向量構成一個向量空間,稱爲該方程組的解空間,解空間的維數是
,解空間的一組基稱爲齊次方程組的基礎解系。
(2) 是
的基礎解系,即:
是
的解;
線性無關;
的任一解均可以由
線性表出.
是
的通解,其中
是任意常數。
1.矩陣的特徵值和特徵向量的概念及性質
(1) 設是
的一個特徵值,則
有一個特徵值分別爲
且對應特徵向量相同(
例外)。
(2)若爲
的
個特徵值,則
,從而
沒有特徵值。
(3)設爲
的
個特徵值,對應特徵向量爲
,
若: ,
則: 。
2.類似變換、類似矩陣的概念及性質
(1) 若,則
,對
成立
3.矩陣可類似對角化的充分必要條件
(1)設爲
階方陣,則
可對角化
對每一個
重根特徵值
,有
(2) 設可對角化,則由
有
,從而
(3) 重要結論
若,則
.
若,則
,其中
爲關於
階方陣
的多項式。
若爲可對角化矩陣,則其非零特徵值的個數(重根重複計算)=秩(
)
4.實對稱矩陣的特徵值、特徵向量及類似對角陣
(1)類似矩陣:設爲兩個
階方陣,若是存在一個可逆矩陣
,使得
成立,則稱矩陣
與
類似,記爲
。
(2)類似矩陣的性質:若是則有:
(若
,
都可逆)
(
爲正整數)
,從而
有相同的特徵值
,從而
同時可逆或者不可逆
秩秩
,
不必定類似
1.個變量
的二次齊次函數
,其中
,稱爲
元二次型,簡稱二次型. 若令
,這二次型
可改寫成矩陣向量形式
。其中
稱爲二次型矩陣,由於
,因此二次型矩陣均爲對稱矩陣,且二次型與對稱矩陣一一對應,並把矩陣
的秩稱爲二次型的秩。
2.慣性定理,二次型的標準形和規範形
(1) 慣性定理
對於任一二次型,不論選取怎樣的合同變換使它化爲僅含平方項的標準型,其正負慣性指數與所選變換無關,這就是所謂的慣性定理。
(2) 標準形
二次型通過合同變換
化爲
稱爲
的標準形。在通常的數域內,二次型的標準形不是惟一的,與所做的合同變換有關,但係數不爲零的平方項的個數由
惟一肯定。
(3) 規範形
任一實二次型均可通過合同變換化爲規範形
,其中
爲
的秩,
爲正慣性指數,
爲負慣性指數,且規範型惟一。
3.用正交變換和配方法化二次型爲標準形,二次型及其矩陣的正定性
設正定
正定;
,
可逆;
,且
,
正定
正定,但
,
不必定正定
正定
的各階順序主子式全大於零
的全部特徵值大於零
的正慣性指數爲
存在可逆陣
使
存在正交矩陣
,使
其中正定
正定;
可逆;
,且
。
1.事件的關係與運算
(1) 子事件:,若
發生,則
發生。
(2) 相等事件:,即
,且
。
(3) 和事件:(或
),
與
中至少有一個發生。
(4) 差事件:,
發生但
不發生。
(5) 積事件:(或
),
與
同時發生。
(6) 互斥事件(互不相容):=
。
(7) 互逆事件(對立事件): 2.運算律 (1) 交換律:
(2) 結合律:
(3) 分配律:
3.德
摩根律
4.徹底事件組
兩兩互斥,且和事件爲必然事件,即
5.機率的基本公式 (1)條件機率: ,表示
發生的條件下,
發生的機率。 (2)全機率公式:
(3) Bayes公式:
注:上述公式中事件
的個數可爲可列個。 (4)乘法公式:
6.事件的獨立性 (1)與
相互獨立
(2)
,
,
兩兩獨立
;
;
; (3)
,
,
相互獨立
;
;
;
7.獨立重複試驗
將某試驗獨立重複次,若每次實驗中事件A發生的機率爲
,則
次試驗中
發生
次的機率爲:
8.重要公式與結論
(5)條件機率
知足機率的全部性質, 例如:.
(6)若
相互獨立,則
(7)互斥、互逆與獨立性之間的關係:
與
互逆
與
互斥,但反之不成立,
與
互斥(或互逆)且均非零機率事件
與
不獨立. (8)若
相互獨立,則
與
也相互獨立,其中
分別表示對相應事件作任意事件運算後所得的事件,另外,機率爲1(或0)的事件與任何事件相互獨立.
1.隨機變量及機率分佈
取值帶有隨機性的變量,嚴格地說是定義在樣本空間上,取值於實數的函數稱爲隨機變量,機率分佈一般指分佈函數或分佈律
2.分佈函數的概念與性質
定義:
性質:(1)
(2) 單調不減
(3) 右連續
(4)
3.離散型隨機變量的機率分佈
4.連續型隨機變量的機率密度
機率密度;非負可積,且:
(1)
(2)
(3)爲
的連續點,則:
分佈函數
5.常見分佈
(1) 0-1分佈:
(2) 二項分佈::
(3) Poisson分佈::
(4) 均勻分佈:
(5) 正態分佈:
(6)指數分佈:
(7)幾何分佈:
(8)超幾何分佈:
6.隨機變量函數的機率分佈
(1)離散型:
則:
(2)連續型:
則:,
7.重要公式與結論
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) 離散型隨機變量的分佈函數爲階梯間斷函數;連續型隨機變量的分佈函數爲連續函數,但不必定爲到處可導函數。
(6) 存在既非離散也非連續型隨機變量。
1.二維隨機變量及其聯合分佈
由兩個隨機變量構成的隨機向量, 聯合分佈爲
2.二維離散型隨機變量的分佈
(1) 聯合機率分佈律
(2) 邊緣分佈律
(3) 條件分佈律
3. 二維連續性隨機變量的密度
(1) 聯合機率密度
(2) 分佈函數:
(3) 邊緣機率密度:
(4) 條件機率密度:
4.常見二維隨機變量的聯合分佈
(1) 二維均勻分佈: ,
(2) 二維正態分佈:,
5.隨機變量的獨立性和相關性
和
的相互獨立:
:
(離散型)
(連續型)
和
的相關性:
相關係數時,稱
和
不相關, 不然稱
和
相關
6.兩個隨機變量簡單函數的機率分佈
離散型: 則:
連續型: 則:
,
7.重要公式與結論
(1) 邊緣密度公式:
(2)
(3) 若服從二維正態分佈
則有:
與
相互獨立
,即
與
不相關。
關於
的條件分佈爲:
關於
的條件分佈爲:
(4) 若與
獨立,且分別服從
則:
(5) 若與
相互獨立,
和
爲連續函數, 則
和
也相互獨立。
1.數學指望
離散型:;
連續型:
性質:
(1)
(2)
(3) 若和
獨立,則
(4)
2.方差:
3.標準差:,
4.離散型:
5.連續型:
性質:
(1)
(2) 與
相互獨立,則
(3)
(4) 通常有
(5)
(6)
6.隨機變量函數的數學指望
(1) 對於函數
爲離散型:
;
爲連續型:
(2) ;
;
;
7.協方差
8.相關係數
,
階原點矩
;
階中心矩
性質:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) ,其中
,其中
9.重要公式與結論
(1)
(2)
(3) 且
,其中
,其中
(4) 下面5個條件互爲充要條件:
注:與
獨立爲上述5個條件中任何一個成立的充分條件,但非必要條件。
1.基本概念
整體:研究對象的全體,它是一個隨機變量,用表示。
個體:組成整體的每一個基本元素。
簡單隨機樣本:來自整體的
個相互獨立且與整體同分布的隨機變量
,稱爲容量爲
的簡單隨機樣本,簡稱樣本。
統計量:設是來自整體
的一個樣本,
)是樣本的連續函數,且
中不含任何未知參數,則稱
爲統計量。
樣本均值:
樣本方差:
樣本矩:樣本階原點矩:
樣本階中心矩:
2.分佈
分佈:
,其中
相互獨立,且同服從
分佈:
,其中
且
,
相互獨立。
分佈:
,其中
且
,
相互獨立。
分位數:若則稱
爲
的
分位數
3.正態整體的經常使用樣本分佈
(1) 設爲來自正態整體
的樣本,
則:
或者
4)
4.重要公式與結論
(1) 對於,有
(2) 對於,有
;
(3) 對於,有
(4) 對於任意整體,有