python 讀書筆記（2）算法的漸進分析

一、算法的上界：大O（）分析

       定義：稱一個函數g(n)是O(f(n))，當且僅當存在常數c>0和n0>=1，對一切n>n0均有|g(n)|<=c|f(n)|成立，也稱函數g(n)以f(n)爲界或者稱g(n)囿於f(n)。記做g(n)=O(f(n))。 

     

1） 加法規則

T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O (max (f(n),g(m))

2） 乘法規則

T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m))

3） 一個特例（問題規模爲常量的時間複雜度）

在大O表示法裏面有一個特例，若是T1(n) = O(c）， c是一個與n無關的任意常數，T2(n) = O (f(n)) 則有

T(n) = T1(n) * T2(n) = O (c*f(n)) = O(f(n))

也就是說，在大O表示法中，任何非0正常數都屬於同一數量級，記爲O⑴。

4） 一個經驗規則

複雜度與時間效率的關係：

c < log2n < n < n*log2n < n2 < n3 < 2n < 3n < n! （c是一個常量）

二、算法的下界：

       定義：Ω(g(n)) = { f(n) : 存在正常數c和n0,使全部n>=n0有0<=c*g(n)<=f(n) }

三、算法的漸進分析：

1. 順序執行語句的最壞運行時間爲O(max(T1(n），T2（n）......Ti(n))),Ti(n)爲第i條語句的O(Ti(n))。

2. while循環的最壞運行時間：

         例：while S1:

                  S2

          最壞運行時間爲O(max（T1（n)*(I(n)+1)，T2(n)*I(n))) , I(n)爲最壞狀況下循環體執行的次數。

（三）for 循環的最壞運行時間：和while循環的相似。

（四）if——else的運行時間：

           例： if  S1:

                        S2

                   else:

                        S3

        最壞運行時間爲O(max(T1(n),T2(n),T3(n)))。