AT2000 Leftmost Ball

設\(f[i][j]\)表示當前有\(i\)個白球，一共放完了\(j\)種球
顯然有\(j <= i\)
對於每一個狀態目前已經放下去的球是固定了的，那麼考慮轉移

• 放白球 從\(f[i - 1][j]\)轉移
• 放沒有出現過的球 \((n - j + 1) * f[i][j - 1] * C(k - 2, n * k - i - (j - 1) * (k - 1) - 1)\)

第二種的C是欽定第一個球放在已經構造好了的合法序列的後面第一個空位，而後剩下的\(k-2\)個球放在剩下的\(n * k - i - (j - 1) * (k - 1) - 1\)空位上。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2020;
const int mod = 1e9 + 7;

int inv[N * N], fac[N * N];
int f[N][N];
int n, k;

int power(int a, int b) {
    a %= mod; int ans = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) ans = 1ll * ans * a % mod;
        a = 1ll * a * a % mod; b >>= 1;
    }
    return ans;
}

int C(int n, int m) {
    return 1ll * fac[m] * inv[n] % mod * inv[m - n] % mod;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    if(k == 1) return printf("%d\n", 1), 0;
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i < N * N; ++i) 
        fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mod;
    for(int i = 0; i < N * N; ++i) 
        inv[i] = power(fac[i], mod - 2);
    for(int i = 0; i <= n; ++i) f[i][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        for(int j = 1; j <= i; ++j) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            (f[i][j] += 1ll * (n - j + 1) * f[i][j - 1] % mod * C(k - 2, n * k - i - (j - 1) * (k - 1) - 1) % mod) %= mod;
            (f[i][j] += mod) %= mod;
        }
    }
    printf("%lld\n", (f[n][n] % mod + mod) % mod);
    return 0;
}