關於數學學習

關於數學學習   源地址:http://bbs.pinggu.org/thread-589533-1-1.html 最近一直有師弟師妹和朋友問我數學和研究的關係,研一要去學什麼數學課。畢竟在清華,衡量一個研究生最重要的指標之一就是paper,而沒有數學,是確定上不了世界頂級的期刊和會議的,這在計算機學界尤爲重要!你會發現,不論哪一個領域有價值的東西,都必定離不開數學!在這樣一個信息時代,當google已經讓世界沒有祕密的時候,一種卓越的數學思惟,絕對能夠成爲你的核心競爭力. 無奈本人實在見地有限,且生活慵懶,一直沒能整理出一些有價值的東西,今日拜讀了lin dahua的空間,忽然發現大牛已經作了此工做,便zz至此與你們分享。紅筆標註之處,是本人的一些感覺,也算站在巨人肩膀上作一些膚淺之論吧。最後補充一句:對於大部分不作純數學理論的人來講(99.99999%的人都屬於這一類),學一門數學時必定要創建和實際物理世界的聯繫。這樣掌握的數學知識才有價值,也最深入! 前面幾篇談了一些對數學的粗淺見解。其實,若是對某門數學有興趣,最好的方法就是走進那個世界去學習和體驗。 這裏說說幾本我看事後以爲不錯的數學教科書。 1. 線性代數 (Linear Algebra): 我想國內的大學生都會學過這門課程,可是,未必每一位老師都能貫徹它的精要。這門學科對於Learning是必備的基礎,對它的透徹掌握是必不可少的。我在科大一年級的時候就學習了這門課,後來到了香港後,又從新把線性代數讀了一遍,所讀的是 Introduction to Linear Algebra (3rd Ed.) by Gilbert Strang. 這本書是MIT的線性代數課使用的教材,也是被不少其它大學選用的經典教材。它的難度適中,講解清晰,重要的是對許多核心的概念討論得比較透徹。我我的以爲,學習線性代數,最重要的不是去熟練矩陣運算和解方程的方法——這些在實際工做中MATLAB能夠代勞,關鍵的是要深刻理解幾個基礎而又重要的概念:子空間(Subspace),正交(Orthogonality),特徵值和特徵向量(Eigenvalues and eigenvectors),和線性變換(Linear transform)。(若是你能理解傅立葉變化究竟作了一件什麼事情,你才能說你知道了子空間!學線性代數必定要理解MATLAB能爲你作的事情以外其餘的東西,這纔是精髓。而很遺憾,不少高校的線性代數考試只測試學生的計算能力。有幾個數學老師能告訴學生:咱們爲何要計算特徵值?)從個人角度看來,一本線代教科書的質量,就在於它可否給這些根本概念以足夠的重視,可否把它們的聯繫講清楚。Strang的這本書在這方面是作得很好的。 並且,這本書有個得天獨厚的優點。書的做者長期在MIT講授線性代數課(18.06),課程的video在MIT的Open courseware網站上有提供。有時間的朋友能夠一邊看着名師授課的錄像,一邊對照課本學習或者複習。 http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/CourseHome/index.htm 2. 機率和統計 (Probability and Statistics): (功利一點的講,統計是最實用的一門學科,若是你不去研究,不去作高端的金融投資分析,那麼你能夠不去學泛函,不去學線性代數,不去了解拓撲,但你必定離不開統計!時間序列分析也很重要,甚至比統計還來得實用,可國內卻鮮有高校開設這門課程。。。) 機率論和統計的入門教科書不少,我目前也沒有特別的推薦。我在這裏想介紹的是一本關於多元統計的基礎教科書: Applied Multivariate Statistical Analysis (5th Ed.) by Richard A. Johnson and Dean W. Wichern 這本書是我在剛接觸向量統計的時候用於學習的,我在香港時作研究的基礎就是今後打下了。實驗室的一些同窗也借用這本書學習向量統計。這本書沒有特別追求數學上的深度,而是以通俗易懂的方式講述主要的基本概念,讀起來很舒服,內容也很實用。對於Linear regression, factor analysis, principal component analysis (PCA), and canonical component analysis (CCA)這些Learning中的基本方法也展開了初步的論述。 以後就能夠進一步深刻學習貝葉斯統計和Graphical models。(To my great acknowledgement, it is just for research.)一本理想的書是 Introduction to Graphical Models (draft version). by M. Jordan and C. Bishop. 我不知道這本書是否是已經出版了(不要和Learning in Graphical Models混淆,那是個論文集,不適合初學)。這本書從基本的貝葉斯統計模型出發一直深刻到複雜的統計網絡的估計和推斷,深刻淺出,statistical learning的許多重要方面都在此書有清楚論述和詳細講解。MIT內部能夠access,至於外面,好像也是有電子版的。 3. 分析 (Analysis): (這纔是真正數學家應該作的事情,無奈本人智力水平有限,沒法於此領域有多少見地) 我想你們基本都在大學就學過微積分或者數學分析,深度和廣度則隨各個學校而異了。這個領域是不少學科的基礎,值得推薦的教科書莫過於 Principles of Mathematical Analysis, by Walter Rudin 有點老,可是絕對經典,深刻透徹。缺點就是比較艱深——這是Rudin的書的一向風格,適合於有必定基礎後回頭去看。 在分析這個方向,接下來就是泛函分析(Functional Analysis)。 Introductory Functional Analysis with Applications, by Erwin Kreyszig. 適合做爲泛函的基礎教材,容易切入而不失全面。我特別喜歡它對於譜論和算子理論的特別關注,這對於作learning的研究是特別重要的。Rudin也有一本關於functional analysis的書,那本書在數學上可能更爲深入,可是不易於上手,所講內容和learning的切合度不如此書。 在分析這個方向,還有一個重要的學科是測度理論(Measure theory),(泛函是一切數學之源,而測度論又是泛函的基石。現在世界頂級投行的quant大部分都是利用機率測度去作風險中性建模和衍生品訂價,誰說分析數學沒有用?!ibank的衍生品投資分析都是基於測度中性去作的,由於對於大規模投資來講,最大的問題不是profit,而是risk hedging)可是我看過的書裏面目前尚未感受有特別值得介紹的。 4. 拓撲 (Topology): 在我讀過的基本拓撲書各有特點,可是綜合而言,我最推崇: Topology (2nd Ed.) by James Munkres 這本書是Munkres教授長期執教MIT拓撲課的心血所凝。對於通常拓撲學(General topology)有全面介紹,而對於代數拓撲(Algebraic topology)也有適度的探討。此書不須要特別的數學知識就能夠開始學習,由淺入深,從最基本的集合論概念(不少書不屑講這個)到Nagata-Smirnov Theorem和Tychonoff theorem等較深的定理(不少書避開了這個)都覆蓋了。講述方式思想性很強,對於不少定理,除了給出證實過程和引導你思考其背後的原理脈絡,不少使人讚歎的亮點——我常讀得忘卻飢餓,不肯釋手。不少習題頗有水平。 5. 流形理論 (Manifold theory): 對於拓撲和分析有必定把握時,方可開始學習流形理論,不然所學只能流於浮淺。我所使用的書是 Introduction to Smooth Manifolds. by John M. Lee 雖然書名有introduction這個單詞,可是實際上此書涉入很深,除了講授了基本的manifold, (我的以爲如今vision領域的manifold learning只是一些無病呻吟的研究,it is just for papers,可是我並非說流行學習對vision沒有用處,只是manifold真正的魅力遠沒有被挖掘出來!正像俄羅斯那一羣科學怪人整出的l1-norm,誰能想到今天對vision界帶來了如此大的變革。其實,有時學習數學只是一種信仰。)tangent space, bundle, sub-manifold等,還探討了諸如綱理論(Category theory),德拉姆上同調(De Rham cohomology)和積分流形等一些比較高級的專題。對於李羣和李代數也有至關多的討論。行文通俗而又不失嚴謹,不過對某些記號方式須要熟悉一下。 雖然李羣論是建基於平滑流形的概念之上,不過,也可能從矩陣出發直接學習李羣和李代數——這種方法對於急需使用李羣論解決問題的朋友可能更加實用。並且,對於一個問題從不一樣角度看待也利於加深理解。下面一本書就是這個方向的典範: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. by Brian C. Hall 此書從開始即從矩陣切入,從代數而非幾何角度引入矩陣李羣的概念。並經過定義運算的方式創建exponential mapping,並就此引入李代數。這種方式比起傳統的經過「左不變向量場(Left-invariant vector field)「的方式定義李代數更容易爲人所接受,也更容易揭示李代數的意義。最後,也有專門的論述把這種新的定義方式和傳統方式聯繫起來。 ———————————————————————————— 不管是研究Vision, Learning仍是其它別的學科,數學終究是根基所在。(數學是能與上帝對話的語言)學好數學是作好研究的基石。(若是你能摒棄了功利的去學習數學,那麼數學也勢必可以爲你帶來功利!)學好數學的關鍵歸根結底是本身的努力可是選擇一本好的書仍是大有益處的。不一樣的人有不一樣的知識背景,思惟習慣和研究方向,所以書的選擇也因人而異,只求適合本身,沒必要強求一致。上面的書僅僅是從我我的角度的出發介紹的,個人閱讀經歷實在很是有限,極可能還有比它們更好的書(不妨也告知我一聲,先說聲謝謝了)。 本文來自: 人大經濟論壇 計量經濟學與統計 版,詳細出處參考: http://bbs.pinggu.org/forum.php?mod=viewthread&tid=589533&page=1
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