超大01揹包問題

超大揹包問題：有n個重量和價值分別爲w[i]和v[i]的物品，從這些物品中挑選總重量不超過W的物品，求全部挑選方案中價值總和的最大值。其中，1 ≤ n ≤ 40， 1 ≤ w[i], v[i] ≤ 10^15, 1 ≤ W ≤ 10^15.

這個問題給人的第一感受就是普通的01揹包。不過，看完數據範圍會發現，此次價值和重量均可以是很是大的數值，相比之下n比較小。使用DP求解揹包爲題的複雜度是O(nW)，所以不能用來解決這個問題。此時咱們應該利用n比較小的特色來尋找其餘方法。

挑選物品的方案總共有2^n種，因此不能直接枚舉，可是若是將物品分紅兩半再枚舉的話，因爲每部分最多隻有20個，這是可行的。咱們把前半部分中的挑選方法對應的重量和價值總和記爲w一、v1，這樣在後半部分尋找總重w2 ≤ W - w1時使v2最大的選取方法便可。

所以，咱們要思考從枚舉獲得的（w2，v2）集合中高效尋找max{v2|w2 ≤ W'}的方法。首先，顯然咱們能夠排除全部價值小重量大的狀態；這一點能夠按照w二、v2的字典序排序後作到。此後剩餘的元素都知足w2[i] < w2[j] <=> v2[i] < v2[j]，要計算max{v2|w2 <= W'}的話，只要尋找知足w2[i] <= W'的最大的i就能夠了。這能夠用二分搜索完成，剩餘的元素個數爲M的話，一次搜索須要O(logM)的時間。由於M≤2^(n/2)，因此這個算法總的時間複雜度是O(n * 2^(n/2))，能夠在實現內解決問題。

 

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<vector>
using namespace std;
#define N 4005
#define PI 4*atan(1.0)
#define mod 1000000007
#define met(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
typedef long long LL;

struct node
{
    LL w, v;
    friend bool operator < (node p, node q)
    {
        if(p.w != q.w)
            return p.w < q.w;
        return p.v < q.v;
    }
}a[1<<20];

LL w[N], v[N], W;
int n;

int Find(int L, int R, LL num)
{
    int ans = L;
    while(L<=R)
    {
        int Mid = (L+R)/2;
        if(a[Mid].w < num)
        {
            ans = Mid;
            L = Mid+1;
        }
        else
            R = Mid-1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    while(scanf("%d %I64d", &n, &W)!=EOF)
    {
        for(int i=0; i<n; i++)
            scanf("%I64d", &w[i]);
        for(int i=0; i<n; i++)
            scanf("%I64d", &v[i]);

        int half = n/2;

        for(int i=0; i<(1<<half); i++)
        {
            LL sw = 0, sv = 0;
            for(int j=0; j<half; j++)
            {
                if( (i>>j) & 1)/// i&(1<<j);
                {
                    sw += w[j];
                    sv += v[j];
                }
            }
            a[i].w = sw;
            a[i].v = sv;
        }
        sort(a, a+(1<<half));
        int m = 1;
        for(int i=1; i<(1<<half); i++)///去重；
        {
            if(a[m-1].v < a[i].v)
                a[m++] = a[i];
        }
        LL ans = 0;
        for(int i=0; i<(1<<(n-n/2)); i++)
        {
            LL sw = 0, sv = 0;
            for(int j=0; j<(n-n/2); j++)
            {
                if( (i>>j) & 1)/// i&(1<<j);
                {
                    sw += w[j+half];
                    sv += v[j+half];
                }
            }
            int Index = Find(0, m-1, W-sw);///找到價值最大的容量不超過W-sw；
            ans = max(ans, sv+a[Index].v);
        }
        printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}
/*
Input:
5
1 3 2
2 4 2
Output:
*/

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