平衡二叉樹 的轉換和平衡方法

平衡二叉樹(Balanced binary tree)是由阿德爾森-維爾斯和蘭迪斯(Adelson-Velskii and Landis)於1962年首先提出的，因此又稱爲AVL樹。

定義：平衡二叉樹或爲空樹,或爲以下性質的二叉排序樹:

（1）左右子樹深度之差的絕對值不超過1;

（2）左右子樹仍然爲平衡二叉樹.

平衡因子BF=左子樹深度－右子樹深度.

平衡二叉樹每一個結點的平衡因子只能是1，0，-1。若其絕對值超過1，則該二叉排序樹就是不平衡的。

如圖所示爲平衡樹和非平衡樹示意圖：

2、平衡二叉樹算法思想

若向平衡二叉樹中插入一個新結點後破壞了平衡二叉樹的平衡性。首先要找出插入新結點後失去平衡的最小子樹根結點的指針。而後再調整這個子樹中有關結點之間的連接關係，使之成爲新的平衡子樹。當失去平衡的最小子樹被調整爲平衡子樹後，原有其餘全部不平衡子樹無需調整，整個二叉排序樹就又成爲一棵平衡二叉樹。

失去平衡的最小子樹是指以離插入結點最近，且平衡因子絕對值大於1的結點做爲根的子樹。假設用A表示失去平衡的最小子樹的根結點，則調整該子樹的操做可概括爲下列四種狀況。

（1）LL型平衡旋轉法

因爲在A的左孩子B的左子樹上插入結點F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需進行一次順時針旋轉操做。即將A的左孩子B向右上旋轉代替A做爲根結點，A向右下旋轉成爲B的右子樹的根結點。而原來B的右子樹則變成A的左子樹。

（2）RR型平衡旋轉法

因爲在A的右孩子C 的右子樹上插入結點F，使A的平衡因子由-1減至-2而失去平衡。故需進行一次逆時針旋轉操做。即將A的右孩子C向左上旋轉代替A做爲根結點，A向左下旋轉成爲C的左子樹的根結點。而原來C的左子樹則變成A的右子樹。

（3）LR型平衡旋轉法

因爲在A的左孩子B的右子數上插入結點F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需進行兩次旋轉操做（先逆時針，後順時針）。即先將A結點的左孩子B的右子樹的根結點D向左上旋轉提高到B結點的位置，而後再把該D結點向右上旋轉提高到A結點的位置。即先使之成爲LL型，再按LL型處理。

如圖中所示，即先將圓圈部分先調整爲平衡樹，而後將其以根結點接到A的左子樹上，此時成爲LL型，再按LL型處理成平衡型。

（4）RL型平衡旋轉法

因爲在A的右孩子C的左子樹上插入結點F，使A的平衡因子由-1減至-2而失去平衡。故需進行兩次旋轉操做（先順時針，後逆時針），即先將A結點的右孩子C的左子樹的根結點D向右上旋轉提高到C結點的位置，而後再把該D結點向左上旋轉提高到A結點的位置。即先使之成爲RR型，再按RR型處理。

如圖中所示，即先將圓圈部分先調整爲平衡樹，而後將其以根結點接到A的左子樹上，此時成爲RR型，再按RR型處理成平衡型。

平衡化靠的是旋轉。參與旋轉的是3個節點（其中一個多是外部節點NULL），旋轉就是把這3個節點轉個位置。注意的是，左旋的時候p->right必定不爲空，右旋的時候p->left必定不爲空，這是顯而易見的。

若是從空樹開始創建，並時刻保持平衡，那麼不平衡只會發生在插入刪除操做上，而不平衡的標誌就是出現bf == 2或者 bf == -2的節點。