放蘋果

題目描述

　　把 M 個一樣的蘋果放在 N 個一樣的盤子裏，容許有的盤子空着不放，問共有多少種不一樣的分法？
　　注意：五、一、1 和 一、五、1 是同一種分法，即順序無關。

1.1 輸入描述:

　　輸入包含多組數據。
　　每組數據包含兩個正整數 m和n（1≤m, n≤20）。

1.2 輸出描述:

　　對應每組數據，輸出一個整數k，表示有k種不一樣的分法。

1.3 輸入例子:

7 3

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1.4 輸出例子:

8

•  

2 解題思路

2.1 解法一

　　放蘋果，後一個盤子不能比前一個盤子放的平果數多。能夠用動態規劃算法實現，可是存在子問題重疊，時間複雜度高。

2.2 解法二

　　設f(m,n)爲m個蘋果，n個盤子的放法數目，則先對n做討論， 
　　　* 當n>m：一定有n-m個盤子永遠空着，去掉它們對擺放蘋果方法數目不產生影響。即if(n>m)f(m,n)=f(m,m) 
　　　* 當n<=m：不一樣的放法能夠分紅兩類： 
　　　　(a)有至少一個盤子空着，即至關於f(m,n)=f(m,n-1); 
　　　　(b)全部盤子都有蘋果，至關於能夠從每一個盤子中拿掉一個蘋果，不影響不一樣放法的數目，即f(m,n)=f(m-n,n).而總的放蘋果的放法數目等於二者的和，即f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-n,n)遞歸出口條件說明：當n=1時，全部蘋果都必須放在一個盤子裏，因此返回1；當沒有蘋果可放時，定義爲1种放法；遞歸的兩條路，第一條n會逐漸減小，終會到達出口n==1;第二條m會逐漸減小，由於n>m時，咱們會returnf(m,m)　因此終會到達出口m==0． 
　　綜上遞推公式爲： 

f(m,n)=⎧⎩⎨1f(m,m)f(m,n−1)+f(m−n,n)m=0orn=1n>m>0m≥n>1

 

2.3 解法三

　　該問題能夠變形爲：求將一個整數m劃分紅n個數有多少種狀況，其公式爲： 

dp[m][n]={1dp[m−n][n]+dp[m−1][n−1]n=1n>1

　　對於變形後的問題，存在兩種狀況： 
　　(a) n份中不包含1的分法，爲保證每份都>=2，能夠先拿出n個1分到每一份，而後再把剩下的m-n分紅n份便可，分法有:dp[m-n][n] 
　　(b) n份中至少有一份爲1的分法，能夠先那出一個1做爲單獨的1份，剩下的m-1再分紅n-1份便可，分法有：dp[m-1][n-1] 
　　要求能夠放蘋果的數，m能夠被劃分爲1到k(k=min{n,m})，因此總的方置方法數有dp[m][1]+…+dp[m][k] 
　　這種方式和解法二很是類似，只是思考的角度不同。 

 

3 算法實現

import java.util.Scanner;

/**
 * Declaration: All Rights Reserved !!!
 */
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
//        Scanner scanner = new Scanner(Main.class.getClassLoader().getResourceAsStream("data.txt"));
        while (scanner.hasNext()) {
            int m = scanner.nextInt();
            int n = scanner.nextInt();

            System.out.println(placeApple4(m, n));
        }

        scanner.close();
    }

    /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
    // 【解法三】
    /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

    /**
     * 放蘋果
     * 變形：求將一個整數m劃分紅n個數有多少種狀況
     * dp[m][n] = dp[m-n][n] + dp[m-1][n-1]; 對於變形後的問題，存在兩種狀況：
     * 1. n 份中不包含 1 的分法，爲保證每份都 >= 2，能夠先拿出 n 個 1 分到每一份，
     *      而後再把剩下的 m- n 分紅 n 份便可，分法有: dp[m-n][n]
     * 2. n 份中至少有一份爲 1 的分法，能夠先那出一個 1 做爲單獨的1份，剩下的 m- 1 再分紅 n- 1 份便可，
     *      分法有：dp[m-1][n-1]
     * 3. 要求能夠放蘋果的數，m能夠被劃分爲1到k(k=min{n, m})，因此總的方置方法數有dp[m][1]+...+dp[m][k]
     * @param m 蘋果個數
     * @param n 盤子個數
     * @return 共的放法數目
     */

    /**
     * 【非遞歸實現】
     * 放蘋果
     *
     * @param m 蘋果個數
     * @param n 盤子個數
     * @return 共的放法數目
     */
    private static int placeApple4(int m, int n) {
        int row = m + 1;
        int col = n + 1;
        // 最多能夠放的盤子個數
        int min = Math.min(m, n);

        int[][] dp = new int[row][col];

        // 只有一個盤子時，則只有一種放法
        for (int i = 1; i < row; i++) {
            dp[i][1] = 1;
        }

        for (int i = 1; i < row; i++) {
            for (int j = 2; j < col; j++) {
                if (i > j) {
                    dp[i][j] = dp[i - j][j] + dp[i - 1][j - 1];
                } else if (i == j) {
                    dp[i][j] = 1;
                }
            }
        }


        int rst = 0;
        for (int i = 1; i <= min; i++) {
            rst += dp[m][i];
        }

        return rst;
    }


    /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
    // 【解法二】
    /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

    /**
     * 解題分析：
     * 設f(m,n) 爲m個蘋果，n個盤子的放法數目，則先對n做討論，
     * 當n>m：一定有n-m個盤子永遠空着，去掉它們對擺放蘋果方法數目不產生影響。即if(n>m) f(m,n) = f(m,m)
     * 當n<=m：不一樣的放法能夠分紅兩類：
     * 一、有至少一個盤子空着，即至關於f(m,n) = f(m,n-1);
     * 二、全部盤子都有蘋果，至關於能夠從每一個盤子中拿掉一個蘋果，不影響不一樣放法的數目，即f(m,n) = f(m-n,n).
     * 而總的放蘋果的放法數目等於二者的和，即 f(m,n) =f(m,n-1)+f(m-n,n)
     * 遞歸出口條件說明：
     * 當n=1時，全部蘋果都必須放在一個盤子裏，因此返回１；
     * 當沒有蘋果可放時，定義爲１种放法；
     * 遞歸的兩條路，第一條n會逐漸減小，終會到達出口n==1;
     * 第二條m會逐漸減小，由於n>m時，咱們會return f(m,m)　因此終會到達出口m==0．
     */

    /**
     * 【非遞歸實現】
     * 放蘋果
     *
     * @param m 蘋果個數
     * @param n 盤子個數
     * @return 共的放法數目
     */
    private static int placeApple3(int m, int n) {

        int row = m + 1;
        int col = n + 1;

        int[][] dp = new int[row][col];

        for (int i = 0; i < row; i++) {
            dp[i] = new int[n + 1];
        }

        for (int i = 0; i < row; i++) {
            for (int j = 1; j < col; j++) {

                if (i == 0 || j == 1) {
                    dp[i][j] = 1;
                    continue;
                }

                if (j > i) {
                    dp[i][j] = dp[i][i];
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - j][j];
                }
            }
        }


        return dp[m][n];
    }


    /**
     * 【遞歸實現】
     * 放蘋果
     *
     * @param m 蘋果個數
     * @param n 盤子個數
     * @return 共的放法數目
     */
    private static int placeApple2(int m, int n) {  //m個蘋果放在n個盤子中共有幾種方法
        //由於咱們老是讓m>=n來求解的，因此m-n>=0,因此讓m=0時候結束，若是改成m=1，
        //則可能出現m-n=0的狀況從而不能獲得正確解
        if (m == 0 || n == 1) {
            return 1;
        }

        if (n > m) {
            return placeApple2(m, m);
        } else {
            return placeApple2(m, n - 1) + placeApple2(m - n, n);
        }
    }

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    // 【解法一】下面的方法時間複雜度太高，發生了子問題重疊
    /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

    /**
     * 放蘋果
     *
     * @param m 蘋果個數
     * @param n 盤子個數
     * @return 共的放法數目
     */
    private static int placeApple(int m, int n) {

        // 用於保存結果
        int[] rst = {0};
        // 第一個盤子數放的蘋果數
        placeApple(m, n, m, rst);
        // 下面和上面一行實現一樣的效果
//        for (int i = m; i >= 0; i--) {
//            placeApple(i, n - 1, m - i, rst);
//        }

        return rst[0];
    }

    /**
     * 放蘋果，後一個盤子不能比前一個盤子放的平果數多
     *
     * @param max  當前盤子最多能夠放多少個蘋果
     * @param n    剩下要放的盤子數目
     * @param left 剩下的蘋果數目
     * @param rst  保存結果
     */
    private static void placeApple(int max, int n, int left, int[] rst) {

        // 放最後能夠放的盤子
        if (n == 1) {
            // 還剩下left個，不能爲負數，能夠選擇的數目大於剩下的數目
            if (max >= left && left >= 0) {
                rst[0]++;
            }
        }
        // 不是最後一個能夠
        else if (n > 1) {
            // 當前盤子能夠放[0,max個]
            for (int i = max; i >= 0; i--) {
                placeApple(i, n - 1, left - i, rst);
            }

        }
    }
}

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