三角函數與反三角函數

 

圖像性質

在三角函數的前面加上 arc ，表示它們的反函數 f^–1 (x)。即由一個三角函數值得出當時的角度。

1.  正弦函數 sin x， 反正弦函數 arcsin x

• y = sin x， x∈R， y∈[–1，1]，週期爲2π，函數圖像以 x = (π/2) + kπ 爲對稱軸
• y = arcsin x， x∈[–1，1]， y∈[–π/2，π/2]

1. sin x = 0    ←→     arcsin x = 0
2. sin x = 1/2     ←→     arcsin x = π/6
3. sin x = √2/2    ←→     arcsin x = π/4
4. sin x = 1    ←→     arcsin x = π/2

2.  餘弦函數 cos x， 反餘弦函數 arccos x

• y = cos x， x∈R， y∈[–1，1]，週期爲2π，函數圖像以 x = kπ 爲對稱軸
• y = arccos x， x∈[–1，1]， y∈[0，π]

1. cos x = 0    ←→     arccos x = π/2
2. cos x = 1/2     ←→     arccos x = π/3
3. cos x = √2/2    ←→     arccos x = π/4
4. cos x = 1    ←→     arccos x = 0 

3.  反正弦函數 arcsin x， 反餘弦函數 arccos x

• y = arcsin x 與 y = arccos x 自變量的取值範圍都是 x∈[–1，1]
• y = arcsin x 與 y = arccos x 的圖像關於直線 y = π/4 對稱，相交與點 (√2/2 ，π/4)

4.   正切函數 tan x， 餘切函數 cot x

• y = tan x， x∈( (–π/2) + kπ， (π/2) + kπ )， y∈R，週期爲π，當 x → ± (π/2) + kπ 時，函數的極限是無窮大 ∞
• y = cot x = 1 / tan x， x∈( 0，kπ )， y∈R，週期爲π，當 x →  kπ 時，函數的極限是無窮大 ∞
• y = tan x 與 y = cot x 的圖像關於 x =  (π/4) + kπ/2 對稱
• 在單個週期內（第一個），y = tan x 與 y = cot x 的圖像相交與點 （π/4 ，1）。當 x =  (π/4) + kπ/2 時，y = tan x 與 y = cot x 函數的值都相等，等於 ±1

5.   反正切函數 arctan x， 反餘切函數 arccot x

• y = arctan x 與 y = arccot x 自變量的取值範圍都是 x∈R
• y = arctan x 與 y = arccot x 的圖像關於直線 y = π/4 對稱，相交與點 (1 ，π/4)

1. tan x = 0    ←→     arctan x = 0
2. tan x = 1    ←→     arctan x = π/4
3. tan x = √3    ←→     arctan x = π/6

6.  餘割函數 csc x

• y = csc x = 1 / sin x，x∈(0，kπ )， y∈(–∞，–1]∪[1，∞)，週期爲π，當 x → kπ 時，函數的極限是無窮大 ∞

7.  正割函數 sec x

• y = sec x = 1 / cosn x，x∈( (–π/2) + kπ， (π/2) + kπ )， y∈(–∞，–1]∪[1，∞)，週期爲π，當 x → (π/2) + kπ 時，函數的極限是無窮大 ∞