三角函數

時間 2019-12-08

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目錄函數

注：原創不易，轉載請務必註明原做者和出處，感謝支持！學習

一寫在開頭

1.1 本文內容

前段時間在複習隨機過程的時候發現高中的三角函數相關知識已經忘得差很少了。原本在高中的時候，三角函數這一塊就沒怎麼學得很好。所以，趁着如今有空，倒回去再從新系統地學習一遍三角函數的相關知識。spa

本文內容爲三角函數的相關知識。先理清基本概念再對涉及到的公式進行證實。blog

二基本概念

2.1 角度概念的推廣

正角：按照逆時針旋轉造成的角
負角：按照順時針旋轉造成的角
第幾象限的角：使角的頂點與座標原點重合，角的始邊和x軸正半軸重合，這時，角的終邊在第幾象限就是第幾象限角。注意，若是終邊在座標軸上，則認爲該角不屬於任何象限
弧度制：以弧度爲單位（rad）爲單位來度量角的制度叫作弧度制

弧度的來源：設在半徑爲\(r\)的圓周上有一個角度大小爲\(\alpha = n^{\circ}\)的圓弧，其弧長爲\(l\)。則該角度的弧度值定義爲其所對應的弧長和半徑的比值：
\[ \frac{l}{r} = n \cdot \frac{2\pi}{360} \]ci

從弧度的定義易知一個圓周\(360^{\circ}\)對應的弧度值爲\(2\pi\)。數學

2.2 三角函數的引入

如上圖所示，設一端點在座標原點\(O\)處的射線上有一點\(P\)，\(P\)在x軸和y軸上的投影分別爲\(x\)和\(y\)，且線段\(OP\)的長度爲\(r\)，其與x軸正半軸造成的夾角大小爲 \(\alpha\)，則所涉及的三角函數以下表所示。it

函數	名稱
\(sin~\alpha = \frac{y}{r}\)	正弦
\(cos~\alpha = \frac{x}{r}\)	餘弦
\(tan~\alpha = \frac{y}{x}\)	正切
\(sec~\alpha = \frac{1}{cos~\alpha} = \frac{r}{x}\)	正割
\(csc~\alpha = \frac{1}{sin~\alpha} = \frac{r}{y}\)	餘割
\(cot~\alpha = \frac{1}{tan~\alpha} = \frac{x}{y}\)	餘切

易知三角函數之間的基本關係式：
\[ sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1 \]io

\[ tan~\alpha = \frac{sin~\alpha}{cos~\alpha} \]
而且，顯然有（\(k\)爲整數）：
\[ cos(\alpha + k \cdot 2\pi) = cos~\alpha \]table

\[ sin(\alpha + k \cdot 2\pi) = sin~\alpha \]class

\[ tan(\alpha + k \cdot 2\pi) = tan~\alpha \]

接下來的一些內容實在是不想寫了，由於太簡單了。（實際上是由於用LaTex寫公式有點麻煩，太懶......）

三三角恆等變換

3.1 合角公式

下面是一些三角恆等變換和它們的證實思路

\[ cos(\alpha - \beta) = cos~\alpha cos~\beta + sin~\alpha sin~\beta \]

上述式子的證實其實至關簡單。令\(\alpha\)和\(\beta\)分別爲兩個單位向量的夾角，利用了兩個向量的點積的兩種不一樣計算方法，它們結果相等便可導出上述公式。具體的過程能夠參見高中數學課本。有了上述公式能夠導出下面三個合角公式。

\[ \begin{equation} \begin{split} cos(\alpha + \beta) &= cos\left[\alpha - (-\beta)\right]\\ &= cos\alpha cos(-\beta) + sin\alpha sin(-\beta)\\ &= cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta \end{split} \end{equation} \]

一樣，還有：
\[ \begin{equation} \begin{split} sin(\alpha + \beta) &= cos\left[\frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta)\right]\\ &= cos\left[(-\alpha + \frac{\pi}{2}) - \beta\right]\\ &= cos(-\alpha + \frac{\pi}{2})cos~\beta + sin(-\alpha + \frac{\pi}{2})sin~\beta\\ &= sin~\alpha cos~\beta + cos~\alpha sin~\beta \end{split} \end{equation} \]

以及：
\[ \begin{equation} \begin{split} sin(\alpha - \beta) &= sin\left[\alpha + (-\beta)\right]\\ &= sin~\alpha cos(-\beta) + cos~\alpha sin(-\beta)\\ &= sin~\alpha cos~\beta - cos~\alpha sin~\beta \end{split} \end{equation} \]

所以，四個合角公式能夠總結以下：
\[cos(\alpha + \beta) = cos~\alpha cos~\beta - sin~\alpha sin~\beta\]

\[cos(\alpha - \beta) = cos~\alpha cos~\beta + sin~\alpha sin~\beta\]

\[sin(\alpha + \beta) = sin~\alpha cos~\beta + cos~\alpha sin~\beta\]

\[sin(\alpha - \beta) = sin~\alpha cos~\beta - cos~\alpha sin~\beta\]

3.2 兩角和與差的正切

對於兩個角的合角的正切，有：
\[ \begin{equation} \begin{split} tan(\alpha + \beta) &= \frac{sin(\alpha + \beta)}{cos(\alpha + \beta)}\\ &= \frac{sin~\alpha cos~\beta + cos~\alpha sin~\beta}{cos~\alpha cos~\beta - sin~\alpha sin~\beta}\\ &= \frac{\frac{sin~\alpha cos~\beta + cos~\alpha sin~\beta}{cos~\alpha cos~\beta}}{\frac{cos~\alpha cos~\beta - sin~\alpha sin~\beta}{cos~\alpha cos~\beta}}~~~(cos~\alpha cos~\beta \neq 0)\\ &= \frac{tan~\alpha + tan~\beta}{1 - tan~\alpha tan~\beta} \end{split} \end{equation} \]

從而有：
\[ \begin{equation} \begin{split} tan(\alpha - \beta) &= tan\left[\alpha + (-\beta)\right]\\ &= \frac{tan~\alpha + tan(-\beta)}{1 - tan~\alpha tan(-\beta)}\\ &= \frac{tan~\alpha - tan~\beta}{1 + tan~\alpha tan~\beta} \end{split} \end{equation} \]

故，兩個角的合角的正切可總結以下：
\[tan(\alpha + \beta) = \frac{tan~\alpha + tan~\beta}{1 - tan~\alpha tan~\beta}\]

\[tan(\alpha - \beta) = \frac{tan~\alpha - tan~\beta}{1 + tan~\alpha tan~\beta}\]

3.3 倍角公式和半角公式

在上述的合角公式中，令\(\alpha = \beta\)，便可獲得以下的倍角公式：
\[sin~2\alpha = 2sin~\alpha cos~\alpha\]
\[ \begin{equation} \begin{split} cos~2\alpha &= cos^2\alpha - sin^2\alpha\\ &= 2cos^2\alpha - 1\\ &= 1 - 2sin^2\alpha \end{split} \end{equation} \]
\[tan~2\alpha = \frac{2tan~\alpha}{1-tan^2 \alpha}\]

由上述的倍角公式能夠很容易地推出下列的半角公式：
\[ cos~\frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + cos~\alpha}{2}} \]
\[ sin~\frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - cos~\alpha}{2}} \]
\[ tan~\frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-cos~\alpha}{1 + cos~\alpha}} \]

正負號由角\(\frac{\alpha}{2}\)所在的象限決定。

3.4 積化和差與和差化積公式

下面經過上面的4個合角公式來推導積化和差與和差化積公式。

4個合角公式以下：
\[cos(\alpha + \beta) = cos~\alpha cos~\beta - sin~\alpha sin~\beta\]

\[cos(\alpha - \beta) = cos~\alpha cos~\beta + sin~\alpha sin~\beta\]

\[sin(\alpha + \beta) = sin~\alpha cos~\beta + cos~\alpha sin~\beta\]

\[sin(\alpha - \beta) = sin~\alpha cos~\beta - cos~\alpha sin~\beta\]

積化和差公式的推導以下：
\[ \begin{equation} \begin{split} cos~\alpha cos~\beta &= \frac{1}{2}(2cos~\alpha cos~\beta)\\ &= \frac{1}{2}(cos~\alpha cos~\beta + sin~\alpha sin~\beta + cos~\alpha cos~\beta - sin~\alpha sin~\beta)\\ &= \frac{1}{2}\left[cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)\right] \end{split} \end{equation} \]
\[ \begin{equation} \begin{split} sin~\alpha sin~\beta &= \frac{1}{2}(2sin~\alpha sin~\beta)\\ &= \frac{1}{2}(cos~\alpha cos~\beta + sin~\alpha sin~\beta - cos~\alpha cos~\beta + sin~\alpha sin~\beta)\\ &= \frac{1}{2}\left[ cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta)\right]\\ &= -\frac{1}{2}\left[ cos(\alpha + \beta) - cos(\alpha - \beta)\right] \end{split} \end{equation} \]
\[ \begin{equation} \begin{split} sin~\alpha cos~\beta &= \frac{1}{2}(2sin~\alpha cos~\beta)\\ &= \frac{1}{2}(sin~\alpha cos~\beta + cos~\alpha sin~\beta + sin~\alpha cos~\beta - cos~\alpha sin~\beta)\\ &= \frac{1}{2}\left[ sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta)\right] \end{split} \end{equation} \]
\[ \begin{equation} \begin{split} cos~\alpha sin~\beta &= \frac{1}{2}(2cos~\alpha sin~\beta)\\ &= \frac{1}{2}(sin~\alpha cos~\beta + cos~\alpha sin~\beta + cos~\alpha sin~\beta - sin~\alpha cos~\beta)\\ &= \frac{1}{2}\left[ sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta)\right] \end{split} \end{equation} \]

由上述的積化和差公式可得：
\[cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta) = 2cos~\alpha cos~\beta\]

\[cos(\alpha + \beta) - cos(\alpha - \beta) = -2sin~\alpha sin~\beta\]

\[sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta) = 2sin~\alpha cos~\beta\]

\[sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta) = 2cos~\alpha sin~\beta\]

令\(x = \alpha + \beta, y = \alpha - \beta\)，則可得和差化積公式以下：

\[cos~x + cos~y = 2cos\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}\]

\[cos~x - cos~y = -2sin\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}\]

\[sin~x + sin~y = 2sin\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}\]

\[sin~x - sin~y = 2cos\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}\]