矩陣是否正定/負定、半正定/半負定的判斷

矩陣是否正定/負定、半正定/半負定的判斷

1、經常使用定義

正定矩陣：一個n階的實對稱矩陣M是正定的的條件是當且僅當對於全部的非零實係數向量z，都有z’Mz>0，其中z’表示z的轉置；
負定矩陣：一個n階的實對稱矩陣M是正定的的條件是當且僅當對於全部的非零實係數向量z，都有z’Mz<0，其中z’表示z的轉置；
半正定矩陣：一個n階的實對稱矩陣M是正定的的條件是當且僅當對於全部的非零實係數向量z，都有z’Mz≥0，其中z’表示z的轉置；
半負定矩陣：一個n階的實對稱矩陣M是正定的的條件是當且僅當對於全部的非零實係數向量z，都有z’Mz≤0，其中z’表示z的轉置。

2、矩陣正定/負定

（1）求出A的全部特徵值。若A的特徵值均爲正數，則A是正定的；若A的特徵值均爲負數，則A爲負定的。
（2）計算A的各階順序主子式。若A的各階順序主子式均爲正，則A是正定的；若A的各階主子式中，奇數階順序主子式爲負，偶數階順序主子式爲正，則A爲負定的。
（3）若A合同於單位陣，則A是正定的。兩個矩陣A和B是合同的，當且僅當存在一個可逆矩陣C，使得C’AC=B，則稱方陣A合同於矩陣B。

3、矩陣半正定/半負定

（1）求出A的全部特徵值。若A的特徵值均非負，則A是半正定的；若A的特徵值均非正，則A爲半負定的。
（2）計算A的全部主子式。若A的全部主子式均非負，則A是半正定的。

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