【刷題】計算機組成原理--數據的表示及其運算（轉）

原文連接：https://blog.csdn.net/redRnt/article/details/83384255

知識點：

1、數的補碼  原碼  移碼錶示

無符號數與有符號數

無符號數，即沒有正負號的數，是數的絕對值，在其面前添上正負號，便成了有符號的數。計算機的數均存放在寄存器中，一般咱們稱寄存器的位數爲機器字長，當存放有符號數的時候，須要佔用覺得存放符合位，全部，如若機器字長爲16位，那麼： - 無符號數可表示的範圍爲 0 — 2^（16） -1 - 有符號數可表示的範圍爲 -2^15 — 2^（15） - 1

15次方是由於符號位佔用了一位。 那麼計算機如何表示有符號數呢？咱們規定，用0表示正號，用1表示負號，這樣符號也就被數字化了，並規定放在有效數據以前，例如： +0.1011 在機器中表示爲0（小數點位置）1011 -1100 在機器中表示爲1，1100（小數點位置） 爲了方便區分手寫的數和將符號數字化的數，咱們把前者稱爲真值，後者稱爲機器數。即 -1100（真值） -> 11100（機器數） 將符號數字化之後帶來了新的問題，運算時，符號位是否參與運算，若是是，那麼如何處理？爲了處理好這些問題，因而就引入了原碼，補碼，反碼和移碼等編碼方式。

原碼：

原碼，又稱帶符號的絕對值表示，符號位爲0表示正，爲1表示負。用大白話來說，就是直接將數值部分寫成二進制數而後前面添上0或者1，用來表示正負號。

 

 

 

 

其實上面的公式咱們只須要了解便可，實際的轉換很簡單 好比

X = +1110時 [X]原 = 0,1110

X = -1110時 [X]原 = 1,1110 （逗號只是爲了區分符號位實際不存在）

X = 0.1101時 [X]原 = 0.1101

X = -0.1101時 [X]原 = 1,1110（注意不是10.1101，由於0並非有效數據位）。

注意： 1. 若字長爲n+1，那麼原碼整數的表示範圍爲：

2. 原碼中0的表示方式有兩種：

0的原碼錶示方法不惟一

補碼：

計算機中存放的數值方式大多數是用補碼存放，計算（尤爲是減法作加法運算時）時也一般採用補碼運算方式，所以要對補碼很是敏感。

 

 

 

 

對於純整數：

對於純小數：

而對於0而言，

反碼

反碼，一般用來由原碼求補碼或者由補碼求原碼的過渡環節。 咱們先看看數學定義：

對於純小數：

對於純整數：

因此，*記住上面的表示範圍就夠了*，咱們具體看看運算過程，取反操做就是將原碼中的0換成1,1換成0.就完事了。

當X = +1101時，X反 = 0，1101 當X = -1101時，

X反 = 1，0010（當爲負數的時候，符號位不變，數值位執行取反操做）

當X = +0.0110時，X反 = 0.0110 當X = -0.0110時，X反 = 1.1001

對於0來講，反碼的表示方式也有兩種（0，000或者1,111），這就本身去寫了。

0的反碼錶示不惟一

三種之間的關係：

• 三種機器碼的最高位均爲符號位，符號位與數值位用逗號隔開
• 當真值爲正時，原碼補碼反碼錶示方式相同。
• 當真值爲負時，三者表現都不一樣，可是符號位都用1表示，補碼能夠用「原碼求反（不含符號位）後加1」求得。而反碼是原碼除了符號位之外的部分都進行取反操做。
• 其中0在移碼和補碼中的表示方式都是惟一的。

移碼

當真值用補碼錶示的時候，因爲符號位與數值位一塊兒編碼，這與習慣上表示不一樣，咱們很難從補碼形式上直接判斷真值的大小。可是若是對每一個真值位（注意不包含符號位），都加上一個2^n（n爲整數位），那麼在數軸上，移碼錶示的範圍剛好對應真值在數軸上移動2的n次方個單元。因此叫作移碼。

它經常用來表示浮點數的階數，由於它只能表示整數。 對於移碼來講，0的表示是惟一的，假設字長爲6位（含一個符號位）那麼0的表示爲：

+0移 = (2^5) + 0 =1,00000

-0移 = (2^5) - 0 =1,00000

特色：

1. 0 的表示方式惟一

2. 對於同一個真值，移碼和補碼相差一個符號位，且相反，例如：-11110 補碼爲1,00010，移碼爲：000010

3. 引入移碼是爲了直觀的判斷真值大小，因此移碼大，真值就大

 

2、二進制與16進制

 

3、強制類型轉換

基本數據類型

1. 整型（int）：即定點整數，在寄存器中通常用補碼錶示，其最高位表明符號位，通常是4個字節。具體的位數跟變異平臺有關。
2. 無符號整數（unsigned）：無符號，即不考慮數據位，二進制碼錶示的數就是其值。通常用補碼錶示。
3. 長整型和短整型（long short）：用補碼錶示，這只是位數不一樣罷了（一個長一個短）。
4. 單精度浮點數和雙精度浮點數（float double）：就是咱們平時說的小數點會移動的小數，前面的32位，後面的是64位。

數據間的保留，當計算記過超出機器所能表示的範圍的時候，就會發生「溢出現象」。此時面臨一個問題，那麼是丟掉前面的N位仍是丟掉後面的N位呢？通常咱們選擇保留後面的N位，丟掉前面的N位，若丟掉後發現不能表示正確的結果，說明產生溢出，還有一種狀況就是不受影響了。

強制類型轉換其實是位值不變，只是改變了解釋這些位的方式。

當數據太大，用二進制很差表示的時候咱們選擇用16進制（在以前提到過），分別是0x000286a1，0x86a1，0xffff7751, 0x7751,能夠看出大字節轉向小字節的轉換的規則是：低位直接賦值（賦幾位就看你的數據佔幾位，好比short佔2字節，16位，一個16進制數表明4位2進制數），高位直接截斷。

輸出的數用16進製表示我就不說了，結論：從短字長到長字長的轉換，相應的位值不變，向高位補充的數爲符號位，因此-4321前面的16位都是1，由於它符號位是負號，若是是正號，那就變成0.

 

4、定點數及其加減運算

定點數

定點數：小數點固定在某一個位置的數，有純小數和純整數之分。 假設數據用原碼錶示，那麼： 純小數能夠表示爲

對於純整數，能夠表示爲：

對比前面兩幅圖，只是小數點的位置不同而已，在末尾表示整數，在內部表示小數。那麼爲何表示整數的時候咱們要減去一個1呢？咱們回想一下原碼的表示範圍就會發現，原來是原碼中0能夠有兩種不一樣的表示方式，所以減去一個重複的0.

定點數的運算

定點數的運算主要包括，移位，加，減，乘，除運算。其中移位運算是基礎，加減運算是重點，乘除運算過程繁雜，不大可能在考試中出現。

移位運算

計算機中的定點數的小數點位置都是事先約定好的，因此二進制的小數點移動至關於乘上或者除以2的指數。就很像咱們十進制中的移位：

15 -> 150 //小數點右移一位 至關於乘10

15 ->1.5 //小數點左移一位，至關於除10

那麼類比到二進制來講，就是乘上或者除以2^n。 對於有符號數的移位，咱們稱爲算術移位，移位運算也稱移位操做。

操做的規則以下：

• 不管是正數仍是負數，移位先後符號位不變
• 真值爲正的時候，左右移動均添0
• 若真值爲負，那麼分下面三種狀況： （1） 原碼添0 （2） 補碼左移添0，右移添1 （3） 反碼添1

移位可能帶來的問題：

1. 對於正數而言：左移的時候最高位可能丟1，即把1移出去了，形成溢出。反之，右移有可能把最低位的1移出去，影響數據的精度。

2. 對於負數而言：原碼與上述狀況一致，由於都是添0，而反碼的左移添加的是1，右移也是如此，所以均會形成0的丟失影響精度。對於補碼來講作移高位丟0，右移丟1，精度都不對。

加/減運算

計算機中，加法減法的運算是最基本的運算，其中咱們平時的計算中也能夠知道的是，減法能夠當作加法進行運算。好比： A - B = A +(-B); 因爲咱們前面說過，引入補碼的緣由就是爲了方便計算，因此咱們都採用補碼來進行運算的。

基本公式（或者說理論基礎）： [A]補_+ [B] 補= [A + B]補 [A]補 - [B]補 = [A]補 + [-B]補

其中 [-B]補 稱爲求補後的減數，由[B]補，連同符號位在內，每位取反，末位加1所得。

下面看兩道計算題： （1）已知X = +1001 ,Y = -0101,求【X+Y】補，以及X+Y。

這裏，咱們能夠明顯的看到，在使用補碼的運算中，符號位參與了編碼而且一塊兒參與了運算。由於符號位只有一位因此捨棄最高的一位。

（2）已知某機器字長爲8位（含一位符號位），令A = 15,B =24, 求【A+B】補 和（A-B）。

 

溢出判斷

考慮這樣一個問題，機器字長仍爲8位，其中A = -93，B = 45.按照計算規則，咱們有：

很明顯咱們的計算過程是沒有任何的問題的，可是問題出在咱們把符號位參與了運算，咱們根據常識知道結果爲 -138 而138顯然大於2^7 = 128.因此7位數值位不足以容納超過128（不用減一由於補碼錶示的0惟一）的數。這種計算結果超過機器字長的現象咱們稱爲溢出。

1. 肉眼觀察法（作題好用） 這種每每看似很蠢的方式，倒是最直觀也是最有效的方法。就是經過對計算結果的大體估計來判斷是否發生溢出。就好比上題，咱們顯然能夠直接算出 -93-45 = -138，顯然會發生溢出。對於一些判斷溢出的方式每每這種方式最有效。

2. 一位符號位判斷溢出（計算機中判斷方式之一） 咱們先看看溢出的必要條件是什麼，同號相加，異號相減纔有可能發生溢出。所以不管是作加法仍是減法，只要實際參與操做的兩個數（減法爲【-B】補），符號相同，結果又與原操做數符號不一樣，便可以說明發生了溢出。

看下面一道例題： 設某機器字長爲4位（含一位符號位） 當A = 5，B = 4時，有：

當A = -5,B = -4時，有：

這個時候產生了兩個符號位，咱們捨去最高的符號位，剩下0爲符號位。

3. 兩位符號位判斷溢出 兩位符號位的補碼，也稱變形補碼。即在原符號位的前面加多一位符號位，這個加上去的符號跟以前的符號位同樣。

好比： 【X】補 = -0.1011 加多一位符號位變爲 11.1011

【X】補 = 0.1011 加多一位符號位變爲 00.1011

原理：當結果的2位符號位不一樣時（即01或者10），表示溢出，且高位（就是第一位）的符號位永遠表明着真正的符號。 舉個例題：

 

5、浮點數及其加減運算

相對於定點數，浮點數就是小數點能夠浮動的數。一般用來表示數值範圍相差很大的數（好比太陽的質量跟電子的質量相差）。 一般咱們使用這樣的表達式來表示浮點數：

其中，r表示底（由於是指數的形式，通常取2的n次方），E表示階碼（階碼可正可負）。M爲位數（可正可負）。 當r = 10的時候，就是咱們熟悉的科學計數法。在計算機中咱們研究的是r = 2的時候。

規格化數與浮點數的規格化

爲了提升數據的精確度以及便於比較浮點數的大小，在計算機中規定浮點數的尾數用純小數表示。其中尾數最高位爲1的浮點數稱爲規格化數。好比 N = 0.110101 X 2^10.尾數的最高位爲1.因此稱爲規格化數。 爲了提升浮點數的精確度，要求其尾數必須爲規格化數，若是不是規格化數，那麼就要修改階碼的值並同時左右移尾數的方法，使其變爲規格化數。 根據尾數的移動位置，咱們將規格化分爲左規和右規（待會詳細說）。咱們先來看看一個十進制數的移動：

 

 

二進制的移動也是如此的。 所以咱們獲得這樣的結論：

 

從圖中咱們能夠看出至少這幾點：

1. 對於原碼而言，其規格化數的最高位必定是1

2. 對於補碼而言，其規格化數的最高位必定與符號位相反

3. 對於正數，不管其是原碼仍是補碼，規格化後的形式同樣

4. 對於負數，補碼的規格化數是原碼規格化數的除了規格化位之外的所有取反

IEEE754標準

現代計算機的浮點數通常採用IEEE定製的國際標準，這種標準形式以下：

根據浮點數的位數的不一樣，常見的浮點數有三種，短浮點數（float），長浮點數（double），臨時浮點數。具體形式以下：

考試中，最常出現的當屬短浮點數（float）了，由於長浮點數位數較多且原理與短浮點數一致。

1. 最高位爲符號位，佔用一位的空間

2. 階碼爲8位，以移碼的方式存儲，階碼錶示的範圍爲[1 ~ (2^8) - 1],爲何不是0-255？由於全0用來表示無窮大，全0表示非規格化數。

3. 尾數數值位爲23位，在這裏採用了隱藏位策略，因爲咱們規定了尾數最高位爲1，也就是說數值位的第一位總會是1，因此咱們能夠採用23位來表示24位的數（咱們把最高位的數值位隱藏了起來）。即不在23位數值位中存儲這個1（這部份內容常常考！！）

4. 偏置值，對於float數而言，偏置值爲127（(2^7) - 1,其中，全一表示無窮大，至於爲何是7次方不是8次方，回顧移碼的定義），表示階碼的移動。在存儲浮點數階碼以前，要將偏置值加到階碼的真值上。好比階碼爲3，那麼移碼錶示的階碼爲： 127 + 3 = 130（80H）。

因此，規格化後，float數的真值爲：

 

其中 s = 0表明正數，s = 1 表明負數。由咱們剛剛討論出來的各個字段的範圍能夠獲得float浮點數的表示範圍： 顯然，當E = 1，M= 0 的時候，浮點數最小， 當 E = 254, M = 111111...（23個1）.的時候，浮點數最大；

浮點數的加減運算

同定點數相同，浮點數的加減也採用補碼的形式運算，不一樣的是，浮點數運算的過程較爲麻煩。

1. 對階 即小數點的位置對齊，此時兩個浮點數的階碼相等。所以咱們首先得得出兩個浮點數相差幾階。由小階轉向大階，具體操做是將數值部分右移一位, 此時階碼 +1。（這裏面隱含着捨棄掉有效位的風險）

2. 尾數求和 對階後就好辦了，對階完至關於小數點位置肯定，直接進行定點數的加減。

3. 規格化 規格化，浮點數的規格化一般採用雙符號位，前面咱們已經說過雙符號位這個概念了。

符號位和最高位相同時須要左規，溢出時須要右規   採用雙符號位來計算

4. 舍入 在對階和右規的過程當中，尾數的低位有效位位極可能移丟（由於是小轉大），這時候就會影響精度產生偏差（注意，產生偏差≠結果錯誤）。這樣的溢出咱們稱爲尾數溢出。所以必須對尾數進行舍入。經常使用的方法有：

• 恆置「1」法：不管右移捨去的是誰，都在末尾添加1
• 舍「0」入「1」法：右移過程當中，尾數是0則捨去，是1，則尾數末尾加1.（存在尾數再次溢出的風險）

5. 溢出判斷 判斷浮點數的溢出，咱們採用雙符號法，可是與定點數有一點不一樣：當尾數之和出現01.XXXXXX或者10.XXXXXX的時候，並不能直接下結論溢出，應當再右規一次，才能判斷是否真的溢出，且規後發現其階碼的符號位出現01或者10的時候，說明溢出

浮點數的加減運算（實例）

下面是一道2009年的408的考試真題：

咱們先看看，首先第一步沒得說，先寫出X和Y的二進制表示（分數轉二進制很好轉，百度一下就行，有個百度經驗，用咱們平時的同底數冪相除來算，非常方便），注意含有兩個符號位：

而後按步驟作題：

這一步咱們發現這個時候X和Y的階碼已經相同（00，111）了。

 

這裏注意，尾數右規是指尾數部分右規，那麼尾數的符號位也是在尾數中的。

補充知識：

大端對齊與小端對齊

大端對齊模式：是指一個字節中的高位字節放在這個字節區域內的低地址處。

小端對齊模式：是指一個字節中的低位字節放在這個字節區域內的低地址處

將一個32位的16進制數0x12345678存放在內存中（機器按字節編址）

 

 

實際上，小端模式就是從後面往前面存儲的。

經常使用的進制轉換數及一些技巧

 127 = 7FH = 0111 1111B
128 = 80H = 1000 0000B
255 = FFH = 1111 1111B
65535 = FFFFH = 1111 1111 1111 1111B

算大的數能夠用16進制數方便計算，十進制轉二進制也能夠轉換爲16進制再轉換爲2進制。

按邊界對齊

按邊界對齊？簡單的說，對於int型而言，起始地址爲4的倍數；對於char類型而言，起始地址爲任意字節皆可；對於short類型而言，起始地址爲2的倍數；對於結構體而言，對齊方式爲結構體內類型最大的字節量。

強制類型轉換

 第一道題

 

 

分析：
算式顯然是 int = int +short 類型，必定存在強制類型轉換，那麼short ->int 須要添加擴展位，注意，機器中的數用補碼錶示的，因此結果用補碼運算。過程以下：
圖中虛線左邊的是16進制數，右邊是2進制數，因爲答案是16進制數，咱們便化爲16進制數進行加減。
同時，特別注意，負數的補碼，是除了符號位之外取反後加1  正數的補碼等於原碼等於反碼

考點：強制類型轉換，碼制間的轉換運算

 

 127原碼=127補碼=01111111=7F

-9原碼=10001001  -9補碼：11110110+1=11110111=F7

由於機器中數據是用補碼錶示的，因此要用補碼計算

第二道題：

 

 分析：短字節向長字節的轉換，高位的擴展位變爲對應的符號位

 

 65535爲正數，高位補0

第三道題：

 

 

分析：無符號與有符號之間的相互轉換，主要看對符號位的解釋，將符號位當成符號就是有符號數，當成真值解釋就是無符號數。機器中用補碼錶示數。

 

 -32767二進制爲：1111111111111111(二進制)補碼爲1000000000000000+1=1000000000000001 表示爲無符號數是32769 

定點數基本運算及存儲方式

 第一道題

 

 

分析：
這是一道表面考定點數補碼的乘法的問題，可是學過的都知道，乘法的計算太囉嗦了，並且要記憶的東西步驟也極爲麻煩，因此出在考試大題不大可能，出如今選擇題更不可能，而這個題目，一開始就讓咱們計算四個數分別相乘的組合。老老實實作，那麼作完你也應該快考完了。因此換個角度，直接判斷是否溢出，將它們化爲10進制真值，用結果看看能不能用8位表示。說白了仍是考碼制之間的轉換。

考點 ：碼制間的轉換與運算，溢出判斷

 

 

第二道題

 

 分析：關鍵詞按字節編址，按邊界對齊，小端方式。咱們知道int是佔用4個字節的，char1個字節，short爲2個字節，加起來要7個字節，可是其實是8個。由於它按邊界對齊。咱們注意到，按順序short應該到D，可是D = 13，不是2的倍數，因此從E開始存儲。
因此過程以下：

 

 

第四道題

 

 分析：若是直接死腦筋算的話，非常麻煩，看看有沒有好的辦法，二進制數對2的乘除，就是移位操做，乘上一個2，左移。除去一個2，右移。實在忘記了，就舉個10進制的例子：
2 X 10 = 20 //至關於將2左移一位
20/10 = 2 //至關於把20右移了一位。這樣就好辦了：

 

 

有符號數移位時，都是按照補碼的形式移位：

右移：最右邊的一位捨棄，最左邊補符號位。

左移：最左邊的一位捨棄，最右邊補0。

 

 

C

103二進制：01100111   -25二進制：10011001   103補碼：01100111 -25補碼：11100111   -y的補碼：11100111

 

 

 A