程序員的數學2:機率統計讀書筆記（一） 機率的定義一：蒙提霍爾問題

三門問題——亦稱爲蒙提霍爾問題，出自美國的電視遊戲節目Let’s Make a Deal。問題的名字來自該節目的主持人蒙提·霍爾（Monty Hall）。問題是這樣的：

參賽者面前有三扇關閉着的門，其中一扇的後面是一輛汽車，選中後面有車的那扇門就能夠贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。當參賽者選定了一扇門，但未去開啓它的時候，主持人會開啓剩下兩扇門中的一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要更換選擇，選另外一扇仍然關着的門。

 而後咱們的問題就是：是堅持原來的選擇贏的可能性大，仍是更換選擇贏的可能性大？

 

常見錯誤想法：

遊戲開始，存在三種開始：

1）門1是正確答案（機率1/3）

2）門2是正確答案（機率1/3）

3）門3是正確答案（機率1/3）

假設參賽者選擇了門3，而主持人開了門1，因而第一種狀況不成立，只剩下兩種可能：

1）門2是正確答案（機率1/3）

2）門3是正確答案（機率1/3）

此時，選擇門2和門3都是1/2；

 

正確答案：

堅持原來的選擇贏的可能性是三分之一，更換選擇贏的可能性是三分之二。

下面將給出解答：

 

上帝視角

咱們以上帝的視角來考慮這個問題，咱們設定一共有360個平行世界，在一個世界中進行遊戲的同時，另外359個世界也在進行着一樣的遊戲，只是遊戲的過程有所不一樣。咱們設定360個世界中，有120個世界裏門1是正確答案，有120個世界裏門2是正確答案，有120個世界裏門3是正確答案。接下來由參賽者進行選擇，其中在門1是正確答案的120個平行世界裏，有40個世界參賽者選擇門1，有40個參賽者選擇門2，有40個參賽者選擇門3，另外門2是正確答案的120個世界和門3是正確答案的120個世界也是如此。以上內容整理以下：

第二輪，由主持人打開一扇門。此時應該注意的是，若是參賽者選擇的門是錯誤的，那麼剩下的兩扇門分別是一個正確一個錯誤，此時主持人只能打開錯誤的那扇門；若是參賽者選擇的門是正確的，那麼主持人能夠在剩下的兩扇門中任選一個。所以第二輪的結果以下

接下來，咱們從上帝的視角來觀察這360個平行世界，不難發現，若是全部的參賽者都堅持原來的選擇，那麼只有120個世界的參賽者選擇了正確答案；可是若是全部的參賽者都更換選擇，則會有240個世界的參賽者選擇了正確的答案。至於那些網上的爭議，是由於他們沒有考慮到這樣的狀況，參賽者選擇了門3而主持人打開了門1的世界有60個，其中門3是正確答案的世界只有20個。

上帝視角的關鍵性在於，考慮存在平行世界的狀況，對於某個特定的世界來講，全部的結果都已經肯定，不存在任何隨機事件，可是人們沒法肯定本身身處那個世界，卻能夠由世界的總數和發生特定事件的世界的數量來計算自身所處在某個世界的機率

數學解釋

對於上帝視角和平行世界，你可能不相信這麼玄學的解釋，那麼，沒辦法了，只能經過數學計算來講服你了。

先假定3個隨機變量，設X是正確的門，Y是參賽者選擇的門，Z是主持人打開的門。
我在這裏只計算一種狀況，有興趣的讀者能夠本身去計算其餘狀況。
咱們考慮計算參賽者選擇了門3而主持人打開了門1的狀況下，門3是正確答案的機率，顯然，這是一個條件機率：

此時，參賽者選到正確答案的機率爲三分之一，而參賽者在第二輪改變了選擇:

P(X=2|Y=3，Z=1)=1−P(X=3|Y=3，Z=1)=2/3

 

蒙提霍爾問題的其餘解釋

把3門擴大到100門，主持人打開其中98門

這種解釋更好理解，可是不具備通用性