[極客時間-每日一課]如何優雅地計算斐波那契數列？

課程：https://time.geekbang.org/dailylesson/detail/100028406

問題：計算斐波那契數列的第n項的值，數列表達式：F[n]=F[n-1]+F[n-2] (n>=2,F[0]=0,F[1]=1)

winter（講師）認爲這是一道很好的面試題，

　　1. 答案簡單。

　　2. 每一個面試者都能寫出點東西。

　　3. 區分度高，不一樣水平的人寫出來的代碼水平不一樣。

　　4. 馬甲衆多（不多有面試官直接上來講給我擼一個斐波那契數列，都會問一個具體的問題，最後歸根到底就是斐波那契數列問題）。

 

好，接下來看一下winter認爲不一樣水平的代碼長啥樣。

 

Lev1. 遞歸

int Fibnacci(int n){
    if(n < 2){
        return n;
    }
    return Fibnacci(n - 1) + Fibnacci(n - 2);
}

能夠簡單算一下它的時間複雜度是指數級的。它會把子問題重複計算多遍。若是我要計算數列第5項的值，會計算以下中間結果。

 

 

 能夠觀察到純在大量重複的節點計算。優化一下。

 

Lev2. 帶備忘錄的遞歸

int Fibnacci(int n){
    if(map.ContainsKey(n)){
        return map[n];
    }
    if(n < 2){
        return n;
    }
    int res = Fibnacci(n - 1) + Fibnacci(n - 2);
    map.Add(n, res);
    return res;
}

時間複雜度O(n), 空間複雜度O_(n)。到這有人說遞歸自帶性能消耗，再優化一下。

 

Lev3. DP (動態規劃)

當發現存在大量重複子問題的時候，一般咱們會想到DP.

首先咱們肯定狀態轉移方程 DP[n] = DP[n-1] + DP[n-2].

（DP是一種自下向上的解決問題的思路，先解出f(2), 那f(3)就得解，接着f(4)也就得解，直到f(n)，而遞歸是自上而下）

int Fibnacci(int n){
    if(n < 2){
        return n;
    }
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}

時間複雜度O(n), 空間複雜度O_(n)。

能夠繼續優化把DP數組去掉，空間複雜度優化成O₍₁₎，這裏就不演示了。

到這，其實我認爲這已是極限了，最起碼是個人極限。

 

Lev4. 通項公式

沒錯，數學家給出了數列的通項公式，咱們老老實實套公式便可。

 

 

 感興趣的能夠本身推導一遍。

let fibnacci = (n) => ((Math.pow(1 + Math.sqrt(5))/2, n) - Math.pow((1 - Math.sqrt(5))/2, n))/Math.sqrt(5);  

問題來了，如今的時間複雜度是O₍₁₎嗎？嚴格意義上說不是，這裏調用了系統的冪函數，winter沒有指出該函數在V8的具體實現，可是結論必定不是O_(n), 更不是O₍₁₎。

後面他提供了本身實現的O_(log(N))冪運算版本：

let pow = (x, n) => {
    var r = 1;
    var v = x;
    while(n) {
        if(n % 2 == 1){
            r *= v;
            n-= 1;
        }
        v = v * v;
        n = n /2;
    }
    return r;
}

Lev N: ？？？？

考慮到浮點偏差，winter再次提出藉助線性代數的矩陣運算來表示斐波那契數列的通項。

到這裏，我已經完全放飛自我，以爲他說的都對。

 

總結

這節課的後半段，體驗不是很好，畢竟數學知識全還了，思路已經跟不上了。

常見的斐波那契數列題型：

1. 爬臺階：有個小孩正在上樓梯，樓梯有n階臺階，小孩一次能夠上1階、2階。實現一種方法，計算小孩有多少種上樓梯的方式（還有什麼青蛙跳臺問題，換一下主語）

2. 爬臺階+： 有個小孩正在上樓梯，樓梯有n階臺階，小孩一次能夠上1階、2階、3階。實現一種方法，計算小孩有多少種上樓梯的方式

3. 兔子繁殖問題： 一對兔子每月能生出一對小兔子來。若是全部兔子都不死，那麼一年之後能夠繁殖多少對兔子？

 

PS: 和斐波那契數列類似的著名數列：卡塔蘭數列

具體問題：給定一個整數 n，求以 1 ... n 爲節點組成的二叉搜索樹有多少種？

假如n=3，結果就是5種。

卡特蘭的隨筆已補：http://www.javashuo.com/article/p-ykkmuaye-cc.html