擴展 KMP 學習筆記

P5410 【模板】擴展 KMP（Z 函數）

前置芝士

KMP

洛谷模板 & \(\texttt{My solution}\)

問題歸納

擴展 KMP：求出字符串 \(S\) 的全部後綴與 \(T\) 的最長公共前綴長度，時間複雜度 \(\mathcal{O}(|S|+|T|)\)。

該解法思想與 KMP 相似，因此稱做擴展 KMP。

解法

\(next\) 數組

定義 \(next_i\) 爲 \(T\) 由 \(i\) 開始的後綴與 \(T\) 的最長公共前綴長度。（\(z\) 函數）

這是本題的第一問，也是第二問的輔助數組。

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求法

顯然 \(next_0=|T|\)，定義 \(n=|T|\)。

考慮求出了 \(next_{0\cdots x-1}\)，如今要求 \(next_x\)。

注：如下的圖顏色相同的部分的字串都相等。

定義 \(k=\max\{j+next_j-1\}(0\le j\lt x)\) 的 \(j\)，\(p=k+next_k-1\)。

根據 \(next\) 定義，可得 \(T\) 的前綴 \(T_{0\cdots next_k-1}=T_{k\cdots n}\) 的後綴 \(T_{k\cdots p}\)。

咱們在 \(T_{k\cdots p}\) 中把 \(T_{x\cdots p}\) 標註出來，由於兩段灰色部分相同，能夠在第一段裏找到相同的位置 \(T_{x-k\cdots next_k-1}\)。

咱們找到 \(next_{x-k}\)，記做 \(y\)。因爲 \(next\) 的定義，\(T_{0\cdots y-1}=T_{x-k\cdots x-k+y-1}\)，在右邊的灰色部分，也有一段和它徹底同樣的 \(T_{x\cdots x+y-1}\)。

狀況一：藍色部分小於等於紅色部分，此時肯定 \(next_x=y\)

狀況二：藍色部分大於紅色部分，此時發現 \(x+y-1\) 已經超過了咱們目前去到的最遠的地方，所以從 \(p,p-x+1\)（就是第一段藍色中位置大於紅色長度的那一部分） 開始一位一位比，算出真正的 \(next_x\)。（記得要更新 \(k\) 和 \(p\)）

\(p\) 是咱們當前已匹配到最遠的位置，狀況一 \(k\) 不會變，狀況二 \(k\) 會變大，\(k\) 保持不降，時間複雜度 \(\mathcal O(|T|)\)

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\(extend\) 數組

\(extend_i\) 數組表示 \(S\) 從 \(i\) 開始的後綴與 \(T\) 的最長公共前綴長度。（第二問）

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求法

和 \(next\) 求法很是像。仍是考慮求出了 \(extend_{0\cdots x-1}\)，如今求 \(extend_x\)

仍是定義 \(k=\max\{j+extend_j-1\}(0\le j\lt x)\) 的 \(j\)，\(p=k+extend_k-1\)。

在圖中畫出 \(x\)，\(x-k\)，標紅色。

定義 \(y=next_{x-k}\)，標出相同的三段藍色。

這時仍是能夠分爲兩種狀況。藍色部分小於等於紅色部分，存在 \(extend_x=y\)，不然須要從 \(p,p-x+1\) 開始一一比對肯定 \(extend_x\)。

因爲此時的 \(k\) 不降，時間複雜度 \(\mathcal O(|S|)\)

實現

個人代碼中 \(next\to nxt,extend\to ext\)

#include<stdio.h>　
#include<string.h>　
const int maxn = 2e7 + 1;　
const int& max2(const int& a,const int& b){return a > b ? a : b;}　
char s[maxn],t[maxn];　
int n,m,nxt[maxn],ext[maxn];　
void calc_nxt(){　
	nxt[0] = n;　
	int j = 0;　
	while(j + 1 < n && t[j] == t[j + 1]) ++j;　
	nxt[1] = j; // nxt[0],nxt[1] 暴力算
	int k = 1; // 我是把k放在循環外，p用k獲得，更新的也是k
	for(int i = 2;i < n;++i){
		int p = k + nxt[k] - 1;　
		if(i + nxt[i - k] <= p) nxt[i] = nxt[i - k]; // 狀況一
		else {　
			j = max2(p - i + 1,0); // 狀況二
			while(i + j < n && t[i + j] == t[j]) ++j; // 狀況二，暴力一位一位比對
			nxt[i] = j,k = i; // 記得更新k
		}　
	}　
}　
void calc_ext(){// 和剛纔幾乎同樣
	int j = 0;　
	while(j < n && j < m && s[j] == t[j]) ++j;　
	ext[0] = j; // ext[0] 暴力算
	int k = 0; // 放在循環外　
	for(int i = 1;i < m;++i){
		int p = k + ext[k] - 1;　
		if(i + nxt[i - k] <= p) ext[i] = nxt[i - k];// 省略講解裏的y
		else {　
			j = max2(p - i + 1,0); // 取max
			while(i + j < m && j < n && s[i + j] == t[j]) ++j; // 一位一位比對
			ext[i] = j,k = i;　
		}　
	}　
} 　
int main(){　
	scanf("%s%s",s,t);　
	n = strlen(t),m = strlen(s);　
	calc_nxt();calc_ext();　
	long long res1 = 0,res2 = 0;
	for(int i = 0;i < n;++i) res1 ^= 1LL * (i + 1) * (nxt[i] + 1);　
	for(int i = 0;i < m;++i) res2 ^= 1LL * (i + 1) * (ext[i] + 1);　
	printf("%lld\n%lld\n",res1,res2);　
	return 0;　
}　
// 拜拜qwq~ （你覺得我會讓你直接複製代碼？