3D數學 矩陣經常使用知識點整理

1.矩陣瞭解

1）矩陣的維度和記法

　　　　(先數多少行，再數多少列)

　　　　

2)矩陣的轉置

　　　　　　　　行變成列，第一行變成第一列...矩陣的轉置的轉置就是原矩陣

　　　　　　　　           即       

3)矩陣和標量的乘法

　　　　　　

4)矩陣和矩陣的乘法

　　　　

　　　　例.[2,3]X[3,4] =[2,4]

　　　　矩陣的乘法不支持交換律,強調順序，左乘和右乘是不同的。

　　　　NXM階與SXT階矩陣相乘，必須知足M和S維度相同，乘法的結果是一個NXT矩陣。

5)單位矩陣

　　　　　　主對角線所有爲1，非主對角線都爲0，則爲單位矩陣。

　　　　　　單位矩陣乘任何矩陣，任何矩陣都不變。

　　　　　　

2.矩陣變換

1）2D變換

　　　　　　①繞座標中心旋轉a角度

　　　　　　　　

　　　　　　②縮放矩陣

　　　　　　　　　　沿座標軸縮放

　　　　　　　　　　(k分別爲x軸，y軸上縮放因子)

　　　　　　　　　　

 

　　　　　　　　　　沿任意N軸縮放

　　　　　　　　　　

2）3D變換

　　　　　　①繞x，y，z軸旋轉a度

　　　　　　　　　　

 

　　　　　　②縮放矩陣

　　　　　　　　　　

3）變換的種類

　　　　　　旋轉 縮放 平移 鏡像

　　　　　　切邊（正方形上面拉一下，變成平行四邊形，稱之爲切邊）

　　　　　　投影（分爲 平行投影：Unity中正交相機，對物體大小不產生變化；透視投影：近大遠小效果）

　　　　　　可逆（施加了一個變換，還能夠撤銷）

　　　　　　總結分類：

　　　　　　　　　　線性變換

　　　　　　　　　　仿射變換：線性變換+平移。

　　　　　　　　　　全部的線性變換都是仿射變換，但並非全部的仿射變換是線性變換。

　　　　　　　

 

4）常見變換組合

　　　　　　　　　　知足結合律 a*b*c = a*(b*c)

   

總結：通常能夠使用矩陣轉換工具進行變換。物體只須要乘一次工具矩陣便可完成變換。　　　　　　

3.變換深刻

　　　當咱們使用2x2旋轉事後，咱們只須要旋轉後的xy份量各自加上也可。可是沒有一個統一的工具去解決。爲了可以

把平移和其餘的線性變換都組合在一塊兒，利用矩陣這一工具去實現。咱們須要把這個矩陣作一個擴展，在2d中平移須要擴展

爲3x3的矩陣。

1）2D平移（3X3矩陣）

　　

　　最後一個份量爲什麼不取0？

　　第一次作了平移以後若是爲0，又要作平移，參與第二次份量計算，由於其份量爲0，都爲0了。因此沒有達到平移的目的。

　　

2）3D平移（4X4矩陣）

　　

 

3)3D 旋轉+平移

　　

 

4)透視投影(近大遠小)

　　

　　注意：這邊本能夠比較簡單的使用等角三角形原理進行計算，可是仍是使用矩陣來進行計算，由於能夠方便的和其餘

矩陣進行組合計算。

　　

　　注意：這邊的最後一個座標份量的值不是1.

 

4.方陣

  　　定義：行數和列數相等。

1）二階方陣行列式

　　　　

2）三階方陣行列式

　　　　

3)4階行列式計算　

　　　　　　代數餘子式

　　　　　　　　

 

                         

　　　　從方陣中任選一行中數，用這一行中每一個元素去乘每一個代數餘子式。

　　　　注意計算方式，正負值取決於行列下標（1開始的）

　　　　行列式性質：

　　　　　　　　矩陣積的行列式等於矩陣行列式的積：|AB| =|A||B|

　　　　　　　　矩陣轉置的行列式等於原矩陣的行列式：|M的轉置| =|M|

　　　　　　　　若是矩陣的任意行或列全爲0，那麼他的行列式等於0

　　　　　　　　 「把矩陣的任意兩行或兩列進行交換」，行列式變負

　　　　　　　　任意行或列的非零積加到另外一行或列上不會改變行列式的值

4）矩陣的逆

　　　　　　①逆的定義

　　　　　　

　　　　　　對於一個矩陣是否有逆，若是一個方陣他的行列式爲0，成爲奇異矩陣，沒有逆。

有逆，則他的行列式必定不爲0.

　　　　　　代數餘子式矩陣（對矩陣中每個元素都取代數餘子式）

　　　　　　

　　　　　　標準伴隨矩陣

　　　　　　　當咱們獲得代數餘子式矩陣以後，須要把這個代數餘子式矩陣進行轉置，稱爲標準伴隨矩陣。

　　　　　　　　

　　　　　　矩陣求逆      

　　　　　　定義檢測

　　　　　　　　　　

 （主對角線都爲1，其餘都爲0）

 　　　　　　②矩陣逆 性質

　　　　　　　　

　　　　　　③正交矩陣和逆

　　　　　　　　若方陣M是正交的，則當且僅當M與它的轉置的乘積等於單位矩陣。

　　　　　　　　M*M的轉置 = I（單位矩陣）,即若是發現他是正交的，則能夠把他的轉置當作逆來使用。

　　　　　　　　應用：

　　　　　　　　　　僅僅擁有旋轉，僅僅包含鏡像。都是正交的。若是要撤銷一個旋轉，不用去求他的逆，直接用他的

轉置就能夠代替逆來使用。