回溯法——求解0-1揹包問題

         曾經研究過一個簡單的N皇后問題，對回溯法也有了個模糊的認識，大體理解就是：先一直作某件事，當完畢某個條件時或者是觸犯某個條件時。再返回到近期的一個相似還原點的地方。

       在用回溯法求解0-1揹包問題的時候。主要遇到三個相對難解決的問題：1。什麼是界限函數；2，何時用它；3，回溯到哪兒。

   什麼是界限函數？

        例如如下圖：

            當咱們身在一棵搜索空間樹中，站在一個K點猶豫不定的時候。咱們可以用它估算假設咱們繼續向下走，咱們走完本段路會得到的總價值。

假設咱們現在有一個最大解，當我用界限函數算出一個價值後和我當前的最大解比較。假設能得到更大利益。咱們選擇繼續向下走，假設不能。果斷放棄。

         從下圖中的僞代碼可以看出，咱們計算後半段最大價值的時候。使用的仍是一個貪心算法。儘管切割的狀況是不被贊成的，但是咱們可以用這個結果來進行估算。

       

        

回溯法獲得的搜索空間樹:

     

            

       

    何時使用界限函數？

                

       數學一點兒的說法是：當X[i]=0時。

 

   通俗一點說：當進入右結點的時候。

   怎樣回溯的問題？

        向上回溯到第一個不是0的結點（並且這個結點不是頂點）。

               

   求解思路

                

               如上圖搜索樹。在創建搜索樹以前，我將所有的物品依照V/W（價值重量比）從大到小排序。而後從第一個開始。依次向背包（揹包大小110）中放入，放到第6個的時候，這時候發現6太大了，不能裝入了，這時候用界限函數推斷下，假設繼續下去。會得到的最大價值，得出這個價值後，和上幾回查找獲得的最大價值對照，但是因爲咱們在這以前尚未得到過別的解，因此界限函數再和最大價值的初值-1比較的時候，老是會選擇繼續。這樣咱們就獲得了一個解139.而後咱們回溯到第一個X[i]不等於0的地方，此處爲X[5],而後將X[5]置爲0。這時候X[5]置0了，咱們就先用界限函數推斷下X[6]到X[8]的狀況，得出了個164.44，這個比咱們上次獲得的第一個解也是最大的解139大。說明向後繼續，肯會出現一個比139還大的解，因此咱們選擇向後繼續。。

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            但咱們回溯到X[1]的時候。咱們將X[1]置0。這時候用界限函數估算下物品2到物品8可能得到的最大價值，發現是155.11，比咱們實際獲得的最大解159還小，而後果斷放棄，再向上回溯，發現這已經到了盡頭了，而後中止。

                 

                  結合曾經的N皇后問題，N皇后問題是我一行一行的放皇后。假設當下一行放到最後一個位置的時候仍是會產生攻擊。這時候咱們就調整上一行皇后的位置，而後再回到本行從第一個開始放。對照0-1揹包，這個是完畢一次求解過程，而後就回溯繼續求解。

            

            因此，回溯法是先一直作，作不下去了，而後才向回走。

     小結：

                    0-1揹包問題的用回溯法解決最開始提出的三個問題挺關鍵的，試想，假設一個問題足夠大的話。用界限函數能夠砍掉很是多不合條件的子節點。極大的提升了效率。