圖解leetcode279 —— 徹底平方數

每道題附帶動態示意圖，提供java、python兩種語言答案，力求提供leetcode最優解。

描述：

給定正整數 n，找到若干個徹底平方數（好比 1, 4, 9, 16, ...）使得它們的和等於 n。你須要讓組成和的徹底平方數的個數最少。

示例 1:

輸入: n = 12
輸出: 3
解釋: 12 = 4 + 4 + 4.

示例 2:

輸入: n = 13
輸出: 2
解釋: 13 = 4 + 9.

思路：

　　　　這道題的官方分類是【動態規劃】，因此咱們用動態規劃的方法來解，動態規劃最重要的是找到它的狀態轉移方程（即找出狀態間的關係）。

　　除了狀態轉移方程，咱們也能夠用狀態轉移表的方法來解題，可是狀態轉移表只能解維度比較低題，好比著名的0-1揹包問題，影響狀態轉移的決策只有兩種，把物品放入揹包、不把物品放入揹包。因此很容易就能夠畫出一張二維的狀態轉移表，可是像今天咱們要解決的這種問題，假如n=12，那麼影響狀態轉移的決策至少就有三種，取1，取4，取9，人腦很難想像出多維的狀態轉移表，因此這裏咱們採用狀態轉移方程的方法來解。

狀態轉移方程推導：

函數f(n)爲求組成n的徹底平方數的最小個數(就是該題），因此f(12) = 3；f(13) = 2。

咱們記作f(n) = m。n能夠拆分爲 n = d + k*k這種形式。

好比12 = 8 + 2*2，13 = 4 + 3*3，由於不管是12仍是13都是徹底平方數組成的，因此必定能夠轉換成這種形式。

f(n) = f(d) + f(k*k)，由於k*k是一個徹底平方數，因此f(k*k) = 1

即f(n) = f(d) + 1，而由 n = d + k*k可得，d = n - k*k，因此上式可化爲：

f(n) = f(n-k*k) + 1，（k*k < n）。

這就得出了狀態轉移方程：dp[i] = min(dp[i-j*j]+1, dp[i])，（j*j <= i）

這裏和dp[i]取最小的緣由是dp[i-j*j]+1可能不止一個值，取這些值中的最小值。

動圖：

圖中例子爲f(5) = 2

5 = 4 + 1 

實現：

java:

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
            dp[i] = i;
            for (int j = 1; i - j * j >= 0; j++) {
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j * j]+1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

結果：

python3:

class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        dp = [i for i in range(n + 1)]
        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                if i - j * j >= 0:
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
                else:
                    break
        return dp[n]

結果：

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