0-1揹包問題 - JavaShuo

問題描述：

0-1揹包問題：給定n種物品和一揹包。物品 i 的重量彷佛 wi，其價值爲 vi，揹包的容量爲 c。問應該如何選擇裝入揹包中的物品，使得裝入揹包中物品的總價值最大？git

說實在的，書上講的東西生澀難懂，我更偏向於看一些有趣的東西。咱們來換一個風格來描述這一個問題。
如下內容大部分來自《算法圖解》一書。看完以後大有收穫。github

另外一種風格的描述：

假設你是一個小偷，揹着一個可裝下4磅東西的揹包，你能夠偷竊的物品以下：web

爲了讓偷竊的商品價值最高，你該選擇哪些商品？算法

簡單算法

最簡單的算法是：嘗試各類可能的商品組合，並找出價值最高的組合。數組

這樣顯然是可行的，可是速度很是慢。在只有3件商品的狀況下，你須要計算8個不一樣的集合；當有4件商品的時候，你須要計算16個不一樣的集合。每增長一件商品，須要計算的集合數都將翻倍！這種算法的運行時間是O(2ⁿ)，真的是慢如蝸牛。微信

動態規劃

解決這樣問題的答案就是使用動態規劃！下面來看看動態規劃的工做原理。動態規劃先解決子問題，再逐步解決大問題。學習

對於揹包問題，你先解決小揹包（子揹包）問題，再逐步解決原來的問題。this

比較有趣的一句話是：每一個動態規劃都從一個網格開始。spa

揹包問題的網格以下：

網格的各行爲商品，各列爲不一樣容量（1~4磅）的揹包。全部這些列你都須要，由於它們將幫助你計算子揹包的價值。

網格最初是空的。你將填充其中的每一個單元格，網格填滿後，就找到了問題的答案！

1.吉他行

後面會列出計算這個網格中單元格值得公式，但如今咱們先來一步一步作。首先來看第一行。

這是吉他行，意味着你將嘗試將吉他裝入揹包。在每一個單元格，都須要作一個簡單的決定：偷不偷吉他？別忘了，你要找出一個價值最高的商品集合。

第一個單元格表示揹包的的容量爲1磅。吉他的重量也是1磅，這意味着它能裝入揹包！所以這個單元格包含吉他，價值爲1500美圓。

下面來填充網格。

與這個單元格同樣，每一個單元格都將包含當前可裝入揹包的全部商品。

來看下一個單元格。這個單元格表示揹包容量爲2磅，徹底可以裝下吉他！

這行的其餘單元格也同樣。別忘了，這是第一行，只有吉他可供你選擇，換而言之，你僞裝如今還沒發偷竊其餘兩件商品。

此時你極可能心存疑惑：原來的問題說的額是4磅的揹包，咱們爲什麼要考慮容量爲1磅、2磅等得揹包呢？前面說過，動態規劃從小問題着手，逐步解決大問題。這裏解決的子問題將幫助你解決大問題。

別忘了，你要作的是讓揹包中商品的價值最大。這行表示的是當前的最大價值。它指出，若是你有一個容量4磅的揹包，可在其中裝入的商品的最大價值爲1500美圓。

你知道這不是最終解。隨着算法往下執行，你將逐步修改最大價值。

2.音響行

咱們來填充下一行——音響行。你如今處於第二行，能夠偷竊的商品有吉他和音響。

咱們先來看第一個單元格，它表示容量爲1磅的揹包。在此以前，可裝入1磅揹包的商品最大價值爲1500美圓。

該不應偷音響呢？

揹包的容量爲1磅，顯然不能裝下音響。因爲容量爲1磅的揹包裝不下音響，所以最大價值依然是1500美圓。

接下來的兩個單元格的狀況與此相同。在這些單元格中，揹包的容量分別爲2磅和3磅，而之前的最大價值爲1500美圓。因爲這些揹包裝不下音響，所以最大的價值保持不變。

揹包容量爲4磅呢？終於可以裝下音響了！原來最大價值爲1500美圓，但若是在揹包中裝入音響而不是吉他，價值將爲3000美圓！所以仍是偷音響吧。

你更新了最大價值。若是揹包的容量爲4磅，就能裝入價值至少3000美圓的商品。在這個網格中，你逐步地更新最大價值。

3.筆記本電腦行

下面以一樣的方式處理筆記本電腦。筆記本電腦重3磅，無法將其裝入1磅或者2磅的揹包，所以前兩個單元格的最大價值仍然是1500美圓。

對於容量爲3磅的揹包，原來的最大價值爲1500美圓，但如今你能夠選擇偷竊價值2000美圓的筆記本電腦而不是吉他，這樣新的最大價值將爲2000美圓。

對於容量爲4磅的揹包，狀況頗有趣。這是很是重要的部分。當前的最大價值爲3000美圓，你可不偷音響，而偷筆記本電腦，但它只值2000美圓。

價值沒有原來高，可是等一等，筆記本電腦的重量只有3磅，揹包還有1磅的重量沒用！

在1磅的容量中，可裝入的商品的最大價值是多少呢？你以前計算過。

根據以前計算的最大價值可知，在1磅的容量中可裝入吉他，價值1500美圓。所以，你須要作以下的比較：

你可能始終心存疑惑：爲什麼計算小揹包可裝入的商品的最大價值呢？希望你如今明白了其中的緣由！餘下了空間時，你可根據這些子問題的答案來肯定餘下的空間可裝入哪些商品。筆記本電腦和吉他的總價值爲3500美圓，所以偷它們是更好的選擇。

最終的網格相似於下面這樣。

答案以下：將吉他和筆記本電腦裝入揹包時價值更高，爲3500美圓。

你可能認爲，計算最後一個單元格的價值時，我使用了不一樣的公式。那是由於填充以前的單元格時，我故意避開了一些複雜的因素。其實，計算每一個單元格的價值時，使用的公式都相同。這個公式以下。

你可使用這個公式來計算每一個單元格的價值，最終的網格將與前一個網格相同。如今你明白了爲什麼要求解子問題了吧？你能夠合併兩個子問題的解來獲得更大問題的解。

代碼實現：

算法的核心是思想，當清楚了整個過程，那麼寫代碼就簡單了，直接來模擬上述的一個過程：

/** * @author:我沒有三顆心臟 * @create:2017-11-14-10:24 */ public class MaxBag { static int n; // 描述物品個數 static int c; // 描述揹包容量 static int[] value; // 描述物品價值 static int[] weight; // 描述物品重量 public static void main(String[] args) { // 初始賦值操做 value = new int[]{1500, 3000, 2000}; weight = new int[]{1, 4, 3}; c = 4; n = 3; // 構造最優解的網格:3行4列 int[][] maxValue = new int[n][c]; for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < c; j++) { maxValue[i][j] = 0; } } // end for // 填充網格 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 1; j <= c; j++) { if (i == 0) { maxValue[i][j - 1] = (weight[i] <= j ? value[i] : 0); } else { int topValue = maxValue[i - 1][j - 1]; // 上一個網格的值 int thisValue = (weight[i] <= j ? // 當前商品的價值 + 剩餘空間的價值 (j - weight[i] > 0 ? value[i] + maxValue[i - 1][j - weight[i]] : value[i]) : topValue); // 返回 topValue和thisValue中較大的一個 maxValue[i][j - 1] = (topValue > thisValue ? topValue : thisValue); } // end if } // end inner for } // end outer for // 打印結果二維數組maxValue for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < c; j++) { System.out.printf("%6d", maxValue[i][j]); } System.out.println(); } } }