取模運算律[簡單數學]

【醒目】

注意取餘運算與取模運算的區別！！！

取餘運算在對負整數取餘時採起向0取整；

取模運算在對負整數取模時採起向下取整（即向-∞取整）！！！

【定義】

給定一個正整數p，任意一個整數n，必定存在等式 ：

n = kp + r

其中 k、r 是整數，且 0 ≤ r < p，則稱 k 爲 n 除以 p 的商，r 爲 n 除以 p 的餘數。

對於正整數 p 和整數 a,b，定義以下運算：

取模運算：a % p（或a mod p），表示a除以p的餘數。

模p加法： ，其結果是a+b算術和除以p的餘數。

模p減法： ，其結果是a-b算術差除以p的餘數。

模p乘法： ，其結果是 a * b算術乘法除以p的餘數。

注：

1. 同餘式：正整數a，b對p取模，它們的餘數相同，記作 或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p 獲得結果的正負由被除數n決定,與p無關。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。

 

【基本性質】

1. 若p|(a-b)，則a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)
2. (a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
3. 對稱性：a≡b (% p)等價於b≡a (% p)
4. 傳遞性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，則a≡c (% p)

 

【運算規則】

模運算與基本四則運算有些類似，可是除法例外。其規則以下：

1. (a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
2. (a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
3. (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
4. a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

• 結合律：

((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

• 交換律：

(a + b) % p = (b+a) % p （7）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

• 分配律：

(a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p （9）

((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （10）

 

【重要定理】

• 若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（11）
• 若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（12）
• 若a≡b (% p)，c≡d (% p)，則 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

(a * c) ≡ (b * d) (%p)； （13）

 

部分引自百度百科。