最短路問題：迪傑斯特拉算法（Dijsktra）

Dijkstra算法

1.定義概覽

Dijkstra(迪傑斯特拉)算法是典型的單源最短路徑算法，用於計算一個節點到其餘全部節點的最短路徑。主要特色是以起始點爲中心向外層層擴展，直到擴展到終點爲止。Dijkstra算法是頗有表明性的最短路徑算法，在不少專業課程中都做爲基本內容有詳細的介紹，如數據結構，圖論，運籌學等等。注意該算法要求圖中不存在負權邊。(只能用來計算起點只有一個的算法)

問題描述：在無向圖 G=(V,E) 中，假設每條邊 E[i] 的長度爲 w[i]，找到由頂點 V0 到其他各點的最短路徑。（單源最短路徑）

 

2.算法描述

1)算法思想：設G=(V,E)是一個帶權有向圖，把圖中頂點集合V分紅兩組，第一組爲已求出最短路徑的頂點集合（用S表示，初始時S中只有一個源點，之後每求得一條最短路徑 , 就將加入到集合S中，直到所有頂點都加入到S中，算法就結束了），第二組爲其他未肯定最短路徑的頂點集合（用U表示），按最短路徑長度的遞增次序依次把第二組的頂點加入S中。在加入的過程當中，總保持從源點v到S中各頂點的最短路徑長度不大於從源點v到U中任何頂點的最短路徑長度。此外，每一個頂點對應一個距離，S中的頂點的距離就是從v到此頂點的最短路徑長度，U中的頂點的距離，是從v到此頂點只包括S中的頂點爲中間頂點的當前最短路徑長度。

2)算法步驟：

a.初始時，S只包含源點，即S＝{v}，v的距離爲0。U包含除v外的其餘頂點，即:U={其他頂點}，若v與U中頂點u有邊，則<u,v>正常有權值，若u不是v的出邊鄰接點，則<u,v>權值爲∞。

b.從U中選取一個距離v最小的頂點k，把k，加入S中（該選定的距離就是v到k的最短路徑長度）。

c.以k爲新考慮的中間點，修改U中各頂點的距離；若從源點v到頂點u的距離（通過頂點k）比原來距離（不通過頂點k）短，則修改頂點u的距離值，修改後的距離值的頂點k的距離加上邊上的權。

d.重複步驟b和c直到全部頂點都包含在S中。

 

4.算法實例

先給出一個無向圖

 

用Dijkstra算法找出以A爲起點的單源最短路徑步驟以下

 

 下面附上代碼實現：

//如下只是Dijsktra的函數！！！ 
int dijkstra(int n) { //初始化v[0]到v[i]的距離
    for(int i=1;i<=n;i++) dis[i] = w[0][i]; vis[0]=1;//標記v[0]點
    for(int i = 1; i <= n; i++) { //查找最近點
        int min = INF,k = 0; for(int j = 0; j <= n; j++) if(!vis[w] && dis[j] < min) min = dis[w],k = j; vis[k] = 1;//標記查找到的最近點 //判斷是直接v[0]鏈接v[j]短，仍是通過v[k]鏈接v[j]更短
        for(int j = 1; j <= n; j++) if(!vis[j] && min+w[k][j] < dis[j]) d[j] = min+w[k][j]; } return dis[j]; }