Doris剛剛學習了fibonacci數列。用f[i]表示數列的第i項,那麼html
f[0]=0c++
f[1]=1git
f[n]=f[n-1]+f[n-2],n>=2函數
Doris用老師的超級計算機生成了一個n×m的表格,第i行第j列的格子中的數是f[gcd(i,j)],其中gcd(i,j)表示i,學習
j的最大公約數。Doris的表格中共有n×m個數,她想知道這些數的乘積是多少。答案對10^9+7取模。測試
有多組測試數據。spa
第一個一個數T,表示數據組數。code
接下來T行,每行兩個數n,mhtm
T<=1000,1<=n,m<=10^6blog
輸出T行,第i行的數是第i組數據的結果
3 2 3 4 5 6 7
1 6 960
前置知識:莫比烏斯反演
題目讓求的是:
\[ ans=\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^mf(gcd(i,j)) \]
而後枚舉\(gcd\)的結果:
\[ ans=\prod_{d=1}^{min(n,m)}pow(f(d),{\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}}[gcd(i,j)=1]) \]
其中,\(pow(a,x)\)表示\(a^x\)其實只是由於美觀
整理一下可得:
\[ \begin{align} ans&=\prod_{d=1}^{min(n,m)}pow(f(d),\sum_{d_1}{\mu(d_1)\lfloor\frac{n}{dd_1}\rfloor\lfloor\frac{m}{dd_1}\rfloor})\\ &=\prod_{T=1}^{min(n,m)}\prod_{d|T}pow(f(d),\mu(\frac{T}{d})\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor)\\ &=\prod_{T=1}^{min(n,m)}pow(\prod_{d|T}pow(f(d),\mu(\frac{T}{d})),\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor)\\ \end{align} \]
定義\(g\)爲:
\[ g(n)=\prod_{d|n}f(d)^{\mu(\frac{n}{d})} \]
\[ \begin{align} ans&=\prod_{T=1}^{min(n,m)}pow(g(T),\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor) \end{align} \]
而後\(g(n)\)(貌似?)並不知足積性函數的性質,因爲\(n\)較小,咱們能夠大力預處理\(g\),而後其餘的函數篩一篩,在數論分塊下就作完了。
時間複雜度\(O(n*log(n)+q*\sqrt{n}*log(n))\)。
後面那個log是快速冪的複雜度。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long void read(int &x) { x=0;int f=1;char ch=getchar(); for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f; for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f; } void print(int x) { if(x<0) x=-x,putchar('-'); if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48); } void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');} const int maxn = 1e6+1; const int mod = 1e9+7; int pri[maxn],f[maxn],mu[maxn],g[maxn],tot,vis[maxn],invf[maxn],invg[maxn]; int qpow(int a,int x) { int res=1; for(;x;x>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(x&1) res=1ll*res*a%mod; return res; } void sieve() { f[0]=0,f[1]=1;invf[1]=invf[0]=1;mu[1]=1; for(int i=2;i<maxn;i++) { f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%mod; invf[i]=qpow(f[i],mod-2); if(!vis[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1; for(int t,j=1;j<=tot&&i*pri[j]<maxn;j++) { vis[t=i*pri[j]]=1; if(!(i%pri[j])) {mu[t]=0;break;} mu[t]=-mu[i]; } } for(int i=0;i<maxn;i++) g[i]=1; for(int i=1;i<maxn;i++) { if(!mu[i]) continue; for(int j=i;j<maxn;j+=i) g[j]=1ll*g[j]*(mu[i]==1?f[j/i]:invf[j/i])%mod; } for(int i=1;i<maxn;i++) g[i]=1ll*g[i]*g[i-1]%mod; //for(int i=1;i<=10;i++) write(g[i]); } int main() { int t;read(t); //int PRE=clock(); sieve(); //cerr << (double)(clock()-PRE)/1e6 << endl; while(t--) { int n,m;read(n),read(m); int T=1,ans=1;if(n>m) swap(n,m); while(T<=n) { int pre=T;T=min(n/(n/T),m/(m/T)); ans=1ll*ans*(qpow(qpow(1ll*g[T]*qpow(g[pre-1],mod-2)%mod,n/T),m/T))%mod; T++; } write(ans); } return 0; }