淺談切比雪夫多項式推導及其實現模版歸類

切比雪夫多項式

 

概述：

切比雪夫多項式是與棣美弗定理有關，以遞歸方式定義的一系列正交多項式序列。 一般，第一類切比雪夫多項式以符號Tn表示， 第二類切比雪夫多項式用Un表示。切比雪夫多項式 Tn 或 Un 表明 n 階多項式。

切比雪夫多項式在逼近理論中有重要的應用。這是由於第一類切比雪夫多項式的根（被稱爲切比雪夫節點）能夠用於多項式插值。相應的插值多項式能最大限度地下降龍格現象，而且提供多項式在連續函數的最佳一致逼近。

 

基本性質：

對每一個非負整數n， Tn(x) 和 Un(x) 都爲 n次多項式。 而且當n爲偶（奇）數時，它們是關於x 的偶（奇）函數， 在寫成關於x的多項式時只有偶（奇）次項。

 

按切比雪夫多項式的展開式：

一個N 次多項式按切比雪夫多項式的展開式爲以下，多項式按切比雪夫多項式的展開能夠用 Clenshaw 遞推公式計算。第一類切比雪夫多項式由如下遞推關係肯定。

 

也能夠用母函數表示。

 

第二類切比雪夫多項式 由如下遞推關係給出。

 

此時母函數爲

 

Clenshaw遞推公式

在數值分析中，Clenshaw遞推公式 (由Charles William Clenshaw發現)是一個求切比雪夫多項式的值的遞歸方法。

 

切比雪夫多項式

N次切比雪夫多項式，是下面形式的多項式p(x)

 

 

其中T_n是n階切比雪夫多項式

 

Clenshaw遞推公式

Clenshaw遞推公式能夠用來計算切比雪夫多項式的值。給定

 

 

咱們定義

 

因而

 

 

(注)上面的公式在 N=0,1的狀況下無心義。此時咱們能夠用下面的公式：

 

(downward, omit if N=0)

 

這裏

或者

 

其中是第二類切比雪夫多項式

棣莫弗（de Moivre）原理

　　設兩個複數（用三角形式表示）Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），則:

　　Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].

解析

　　證：先講一下複數的三角形式的概念。在複平面C上，用向量Z(a,b）來表示Z=a+bi.因而，該向量能夠分紅兩個在實軸，虛軸上的分向量.若是向量Z與實軸的夾角爲θ，這兩個分向量的模分別等於rcosθ,risinθ（r=√a^2+b^2）.因此，複數Z能夠表示爲Z=r(cosθ+isinθ）.這裏θ稱爲複數Z的輻角.

　　由於Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），因此

　　Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2）

　　=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）

　　=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）]

　　=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].

　　其實該定理能夠推廣爲通常形式：

推廣

　　設n個複數Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），……，Zn=rn(cosθn+isinθn），則：

　　Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)].

解析

　　證：用數學概括法便可，概括基礎就是兩個複數相乘的棣莫弗定理。

　　若是把棣莫弗定理和歐拉（Euler）公式「e^iθ=cosθ+isinθ」（參見《泰勒公式》，嚴格的證實須要複分析）放在一塊兒看，則能夠用來理解歐拉公式的意義。

　　利用棣莫弗定理有：

　　Z1Z2……Zn=r1r2……rn [cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)]

　　若是能夠把全部的複數改寫成指數的形式，即：Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2，……，Zn=rne^iθn,

　　Z1Z2……Zn=r1r2……rn e^i（θ1+θ2+……+θn)

　　這和指數的可加性一致.

　　在通常形式中若是令Z1=Z2=……=Zn=Z，則能導出複數開方的公式.有興趣可本身推推看.

下面這題可做爲切比雪夫多項式的模版：

Trig Function

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Problem Description

 

f(cos(x))=cos(n∗x) holds for all x.

Given two integersn and m , you need to calculate the coefficient of x^m​​ in f(x), modulo 998244353

 

  

Input

 

Multiple testcases (no more than 100).

Each test casecontains one line consisting of two integers n and m.

1≤n≤10⁹,0≤m≤10⁴

 

  

Output

Output the answerin a single line for each test case.

  

Sample Input

2 0

2 1

2 2

 

Sample Output

998244352

0

2

【題意】

給出一個函數，代入n,m後求出x^m的係數，並取模輸出。

【思路】

咱們先嚐試把cos(nx)化爲cos(x)的形式，而後把cos(x)用x代換，就能夠獲得f(x)=...的形式，而後就能獲得所求的係數了。

那麼咱們如何把cos(nx)化爲cos(x)的形式呢。

其實能夠嘗試着暴力寫出前幾項的形式。以下圖：

 

由寫出的式子，咱們能夠發現如下幾點：

1. 當m大於n時，答案顯然爲0。
2. 當n爲奇數且m爲偶數或n爲偶數且m爲奇數時答案顯然爲0。
3. 當n爲奇數，且m爲1時，答案的絕對值爲n。
4. 當n爲偶數，且m爲0時，答案的絕對值爲1。
5. 其他狀況答案的絕對值均爲【 n * (n-m+2) * (n-m+4) * ... * (n+m-4) * (n+m-2) 】/(m!)。(注意逆元的運用)
6. 上面出現絕對值的狀況，3和4 當(n/2)%2 == 0 時符號爲正，不然爲負；5 當((n-m)/2)%2 == 0時，符號爲正，不然符號爲負。

依照這個規律分類討論一下便可。

因而咱們能夠獲得如下通常解析式

注意"!!"不是階乘的階乘，而是不超過n且與n具備相同奇偶性的全部正整數連乘積。

n分類討論下,當n爲偶數時m=2*k, n爲奇數時m=2*k-1

還有注意下"!!"的約分,可能下面的比上面的大

因而咱們就獲得瞭如下代碼：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 const int maxn=1e5+5;
 5 const int mod=998244353;
 6 ll fac[maxn]={1};
 7 ll n,m;
 8 void init()
 9 {
10     for(int i=1;i<maxn;i++)
11         fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
12 }
13 ll qmod(ll x,int q)
14 {
15     ll res=1;
16     while(q)
17     {
18         if(q%2)
19             res=res*x%mod;
20         x=x*x%mod;
21         q/=2;
22     }
23     return res;
24 }
25 int main(void)
26 {
27     init();
28     while(~scanf("%lld%lld",&n,&m))
29     {
30         if(m>n)
31             puts("0");
32         else if(n%2&&m%2==0)
33             puts("0");
34         else if(n%2==0&&m%2)
35             puts("0");
36         else
37         {
38             ll fz=n%mod;
39             if(m>=1)
40             {
41                 for(int i=n-m+1;i<=n+m-1;i++)
42                 {
43                     if(i%2==(n+m-2)%2)
44                     {
45                         fz=fz*i%mod;
46                     }
47                 }
48                 ll tmp=fz*qmod(fac[m],mod-2)%mod;
49                 if((n-m)/2%2)
50                     tmp=-tmp;
51                 printf("%lld\n",(tmp+mod)%mod);
52             }
53             else
54             {
55                 ll t=1;
56                 for(int i=n+m-1;i<=n-m;i++)
57                 {
58                     if(i%2==(n+m-2)%2)
59                         t=t*i%mod;
60                 }
61                 ll tmp=fz*qmod(fac[m],mod-2)%mod*qmod(t, mod-2)%mod;
62                 if((n-m)/2%2)
63                     tmp=-tmp;
64                 printf("%lld\n",(tmp+mod)%mod);
65             }
66         }
67     }
68 }