Splay入門解析【保證讓你看不懂（滑稽）】

來自兩年後的提示
本篇文章只是娛樂向的介紹性文章，能夠進行初步理解。
\(\text{Splay}\)若是須要嚴格的證實均攤複雜度參考勢能分析。
另外\(\text{Splay}\)依靠\(rotate\)來維護\(size\)等節點維護的值。
若是代碼中沒有體現請不要忘記上面這句話。

另外本文中不少內容經不起推敲，然而我懶得改了。。。
QwQ......

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BST真是神奇的東西。。。
並且種類好多呀。。。
我這個蒟蒻只學會了splay
orzCJ老爺，各類樹都會
好好好，不說了，直接說splay。

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不知道splay是啥，，你也要知道平衡樹是啥。。。
平衡樹是一個神奇的數據結構，
對於任意一個節點，左兒子的值比它小，右兒子的值比它大
而且任意一棵子樹單獨拎出來也是一棵平衡樹
就像這樣。。。。

各位大佬請原諒我醜陋無比的圖

上面這個醜陋的東西就是一棵平衡樹，他如今很平衡，是一棵滿二叉樹，高度正好是logn。。。
可是。。
若是這個醜陋的東西極端一點，他就會變成這樣。。。

這張圖依然很醜

如今看起來，這個東西一點都不平衡。。。
二叉樹退化成了一條鏈
若是要查詢的話，，，最壞狀況下就變成了O(n)
這就很尷尬了。。。

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各位大佬們爲了解決平衡樹這個尷尬的問題，想出了各類方法。。
也就是弄出了各類樹。。。。（然而cj大佬都會）
而後有一個註明的大佬叫作Tarjan，弄出了splay這個玩意。。。

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這個玩意怎麼解決上面的問題呢？？？
你是一個平衡樹是吧。。。
我把你的節點的順序修改一下，讓你仍是一棵平衡樹，在這個過程當中你的結構就變化了，就可能再也不是一條鏈了。
誒，這個看起來很厲害的感受。。。

可是，，我怎麼說也說不清呀。。
弄張醜陋的圖過來

這是一個醜陋的平衡樹的一部分
其中XYZ三個是節點，ABC三個是三棵子樹
如今這個玩意，我若是想把X弄到Y那個地方去要怎麼辦，這樣的話我就通過了旋轉，重構了這棵樹的結構，就可能讓他變得更加平衡

恩，咱們來看看怎麼辦。。。
X是Y的左兒子，因此X < Y
Y是Z的左兒子，因此Y < Z
因此X < Z，因此若是要把X弄到Y的上面去的話，X就應該放到Y的那個位置

繼續看，如今Y > X那麼Y必定是X的右兒子
可是X已經有了右兒子B，
根據平衡樹咱們能夠知道X < B < Y
因此咱們能夠把X的右兒子B丟給Y當作左兒子
而X的左兒子A有A < X < Y < Z顯然仍是X的左兒子

綜上，咱們一頓亂搞，原來的平衡樹被咱們搞成了這個樣子

在檢查一下
原來的大小關係是
A < X < B < Y < C < Z

把X旋轉一下以後大小關係
A < X < B < Y < C < Z
誒，大小關係也沒有變
因此以前那棵平衡樹就能夠經過旋轉變成這個樣子
而且這個時候仍是一棵平衡樹
好神奇誒。。。

可是，XYZ的關係顯然不只僅只有這一種
有Y是Z的左兒子 X是Y的左兒子
有Y是Z的左兒子 X是Y的右兒子
有Y是Z的右兒子 X是Y的左兒子
有Y是Z的右兒子 X是Y的右兒子
一共4種狀況，你們能夠本身畫畫圖，轉一轉。

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若是把上面的圖畫完了，咱們就能夠正式的來玩一玩splay了

轉完了上面四種狀況，咱們來找找規律

最明顯的一點，咱們把X轉到了原來Y的位置
也就是說，原來Y是Z的哪一個兒子，旋轉以後X就是Z的哪一個兒子

繼續看一看
咱們發現，X是Y的哪一個兒子，那麼旋轉完以後，X的那個兒子就不會變
什麼意思？
看一看我上面畫的圖
X是Y的左兒子，A是X的左兒子，旋轉完以後，A仍是X的左兒子
這個應該不難證實
若是X是Y的左兒子，A是X的左兒子
那麼A < X < Y旋轉完以後A仍是X的左兒子
若是X是Y的右兒子，A是X的右兒子
那麼A > X > Y 只是把不等式反過來了而已

再看一下，找找規律
若是原來X是Y的哪個兒子，那麼旋轉完以後Y就是X的另一個兒子
再看看圖
若是原來X是Y的左兒子，旋轉以後Y是X的右兒子
若是原來X是Y的右兒子，旋轉以後Y是X的左兒子
這個應該也很好證實吧。。。
若是X是右兒子 X > Y，因此旋轉後Y是X的左兒子
若是X是左兒子 Y > X，因此旋轉後Y是X的右兒子

因此總結一下：
1.X變到原來Y的位置
2.Y變成了 X原來在Y的 相對的那個兒子
3.Y的非X的兒子不變 X的 X原來在Y的 那個兒子不變
4.X的 X原來在Y的 相對的 那個兒子 變成了 Y原來是X的那個兒子

啊，，，寫出來真麻煩，用語言來寫一下
其中t是樹上節點的結構體，ch數組表示左右兒子，ch[0]是左兒子，ch[1]是右兒子，ff是父節點

void rotate(int x)//X是要旋轉的節點
{
    int y=t[x].ff;//X的父親
    int z=t[y].ff;//X的祖父
    int k=t[y].ch[1]==x;//X是Y的哪個兒子 0是左兒子 1是右兒子
    t[z].ch[t[z].ch[1]==y]=x;//Z的原來的Y的位置變爲X
    t[x].ff=z;//X的父親變成Z
    t[y].ch[k]=t[x].ch[k^1];//X的與X原來在Y的相對的那個兒子變成Y的兒子
    t[t[x].ch[k^1]].ff=y;//更新父節點
    t[x].ch[k^1]=y;//X的 與X原來相對位置的兒子變成 Y
    t[y].ff=x;//更新父節點
}

上面的代碼用了不少小小小技巧
好比t[y].ch[1]==x
t[y].ch[1]是y的右兒子，若是x是右兒子，那麼這個式子是1，不然是0，也正好對應着左右兒子
一樣的k^1，表示相對的兒子，左兒子0^1=1 右兒子1^1=0

好了，這就是一個基本的旋轉操做（別人講的

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繼續看接下來的東西
如今考慮一個問題
若是要把一個節點旋轉到根節點（好比上面的Z節點呢）
咱們是否是能夠作兩步，先把X轉到Y再把X轉到Z呢？
咱們來看一看

一個這樣的Splay

把X旋轉到Y以後

再接着把X旋轉到Z以後

好了，這就是對X連着旋轉兩次以後的Splay，看起來彷佛沒有什麼問題。
可是，咱們如今再來看一看

原圖中的Splay有一條神奇鏈： Z->Y->X->B
而後再來看一看旋轉完以後的Splay

也有一條鏈X->Z->Y->B

也就是說
若是你只對X進行旋轉的話，
有一條鏈依舊存在，
若是是這樣的話，splay極可能會被卡。

好了，
顯然對於XYZ的不一樣狀況，能夠本身畫圖考慮一下，
若是要把X旋轉到Z的位置應該如何旋轉

歸類一下，其實仍是隻有兩種：
第一種，X和Y分別是Y和Z的同一個兒子
第二種，X和Y分別是Y和Z不一樣的兒子

對於狀況一，也就是相似上面給出的圖的狀況，就要考慮先旋轉Y再旋轉X
對於狀況二，本身畫一下圖，發現就是對X旋轉兩次，先旋轉到Y再旋轉到X

這樣一想，對於splay旋轉6種狀況中的四種就很簡單的分了類
其實另外兩種狀況很容易考慮，就是不存在Z節點，也就是Y節點就是Splay的根了
此時不管怎麼樣都是對於X向上進行一次旋轉

那麼splay的旋轉也能夠很容易的簡化的寫出來

void splay(int x,int goal)//將x旋轉爲goal的兒子，若是goal是0則旋轉到根
{
    while(t[x].ff!=goal)//一直旋轉到x成爲goal的兒子
    {
        int y=t[x].ff,z=t[y].ff;//父節點祖父節點
        if(z!=goal)//若是Y不是根節點，則分爲上面兩類來旋轉
            (t[z].ch[0]==y)^(t[y].ch[0]==x)?rotate(x):rotate(y);
            //這就是以前對於x和y是哪一個兒子的討論
        rotate(x);//不管怎麼樣最後的一個操做都是旋轉x
    }
    if(goal==0)root=x;//若是goal是0，則將根節點更新爲x
}

這樣寫多簡單，比另一些人寫得分6種狀況討論要簡單不少。

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應SYC大佬要求，繼續補充內容。

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先是查找find操做
從根節點開始，左側都比他小，右側都比他大，
因此只須要相應的往左/右遞歸
若是當前位置的val已是要查找的數
那麼直接把他Splay到根節點，方便接下來的操做
相似於二分查找，
因此時間複雜度O(logn)

inline void find(int x)//查找x的位置，並將其旋轉到根節點
{
    int u=root;
    if(!u)return;//樹空
    while(t[u].ch[x>t[u].val]&&x!=t[u].val)//當存在兒子而且當前位置的值不等於x
        u=t[u].ch[x>t[u].val];//跳轉到兒子，查找x的父節點
    splay(u,0);//把當前位置旋轉到根節點
}

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下一個Insert操做
往Splay中插入一個數
相似於Find操做，只是若是是已經存在的數，就能夠直接在查找到的節點的進行計數
若是不存在，在遞歸的查找過程當中，會找到他的父節點的位置，
而後就會發現底下沒有啦。。。
因此這個時候新建一個節點就能夠了

inline void insert(int x)//插入x
{
    int u=root,ff=0;//當前位置u，u的父節點ff
    while(u&&t[u].val!=x)//當u存在而且沒有移動到當前的值
    {
        ff=u;//向下u的兒子，父節點變爲u
        u=t[u].ch[x>t[u].val];//大於當前位置則向右找，不然向左找
    }
    if(u)//存在這個值的位置
        t[u].cnt++;//增長一個數
    else//不存在這個數字，要新建一個節點來存放
    {
        u=++tot;//新節點的位置
        if(ff)//若是父節點非根
            t[ff].ch[x>t[ff].val]=u;
        t[u].ch[0]=t[u].ch[1]=0;//不存在兒子
        t[tot].ff=ff;//父節點
        t[tot].val=x;//值
        t[tot].cnt=1;//數量
        t[tot].size=1;//大小
    }
    splay(u,0);//把當前位置移到根，保證結構的平衡。注意前面由於更改了子樹大小，因此這裏必須Splay上去進行pushup保證size的正確。
}

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繼續，，，
前驅/後繼操做Next
首先就要執行Find操做
把要查找的數弄到根節點
而後，之前驅爲例
先肯定前驅比他小，因此在左子樹上
而後他的前驅是左子樹中最大的值
因此一直跳右結點，直到沒有爲止
找後繼反過來就好了

inline int Next(int x,int f)//查找x的前驅(0)或者後繼(1)
{
    find(x);
    int u=root;//根節點，此時x的父節點（存在的話）就是根節點
    if(t[u].val>x&&f)return u;//若是當前節點的值大於x而且要查找的是後繼
    if(t[u].val<x&&!f)return u;//若是當前節點的值小於x而且要查找的是前驅
    u=t[u].ch[f];//查找後繼的話在右兒子上找，前驅在左兒子上找
    while(t[u].ch[f^1])u=t[u].ch[f^1];//要反着跳轉，不然會愈來愈大（愈來愈小）
    return u;//返回位置
}

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還有操做呀/。。。
刪除操做
如今就很簡單啦
首先找到這個數的前驅，把他Splay到根節點
而後找到這個數後繼，把他旋轉到前驅的底下
比前驅大的數是後繼，在右子樹
比後繼小的且比前驅大的有且僅有當前數
在後繼的左子樹上面，
所以直接把當前根節點的右兒子的左兒子刪掉就能夠啦

inline void Delete(int x)//刪除x
{
    int last=Next(x,0);//查找x的前驅
    int next=Next(x,1);//查找x的後繼
    splay(last,0);splay(next,last);
    //將前驅旋轉到根節點，後繼旋轉到根節點下面
    //很明顯，此時後繼是前驅的右兒子，x是後繼的左兒子，而且x是葉子節點
    int del=t[next].ch[0];//後繼的左兒子
    if(t[del].cnt>1)//若是超過一個
    {
        t[del].cnt--;//直接減小一個
        splay(del,0);//旋轉
    }
    else
        t[next].ch[0]=0;//這個節點直接丟掉（不存在了）
}

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突然發現我連第K大都沒有寫，隨口口胡一下
從當前根節點開始，檢查左子樹大小
由於全部比當前位置小的數都在左側
若是左側的數的個數多餘K，則證實第K大在左子樹中
不然，向右子樹找，找K-左子樹大小-當前位置的數的個數
記住特判K剛好在當前位置

inline int kth(int x)//查找排名爲x的數
{
    int u=root;//當前根節點
    if(t[u].size<x)//若是當前樹上沒有這麼多數
        return 0;//不存在
    while(1)
    {
        int y=t[u].ch[0];//左兒子
        if(x>t[y].size+t[u].cnt)
        //若是排名比左兒子的大小和當前節點的數量要大
        {
            x-=t[y].size+t[u].cnt;//數量減小
            u=t[u].ch[1];//那麼當前排名的數必定在右兒子上找
        }
        else//不然的話在當前節點或者左兒子上查找
            if(t[y].size>=x)//左兒子的節點數足夠
                u=y;//在左兒子上繼續找
            else//不然就是在當前根節點上
                return t[u].val;
    }
}

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還剩下一些splay的基本操做 先留個坑，之後再慢慢補。。。