動態規劃-01揹包問題

01揹包問題

有N件物品和一個容量爲V的揹包。第i件物品的體積是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可以使價值總和最大。
從這個題目中能夠看出，01揹包的特色就是：每種物品僅有一件，能夠選擇放或不放。
其狀態轉移方程是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

填表

要理解上面的那個公式，須要學會填表。
假設

n=5, C=13, w={4,5,4,3,10}, v={9,10,9,2,24}

• P[2,5]的含義是考慮前兩個物品，裝體積爲5 的價值是10，揹包體積就減小4，沒法再裝下第一個物品。也能夠放棄第二個物品裝第一個物品，價值是9，最大的是10。因此裝第二個物品。
• P[2,9]的含義是考慮前兩個物品，裝體積爲5 的價值是10，揹包體積就減小4，還能再裝下第一個物品價值是9，總價值是19.另外一種狀況是捨棄第二件物品，直接裝第一件物品價值是9，價值明顯是裝兩件時候的大。
• P[3,8]的含義是若裝第三件物品價值加9，揹包容量減小4，問題就變成了P[2,4]查表就知道P[2,4]最大是價值9，因此總價值是18；另外一種狀況是捨棄第三件物品，問題就變成P[2,8],查表發現最大價值是10。10明顯沒有18大，因此最大價值就是18。
• P[3,9]的含義是若裝第三件物品價值加9，揹包容量減小4，問題就變成了P[2,4]查表就知道P[2,4]最大是價值9，因此總價值是18；另外一種狀況是捨棄第三件物品，問題就變成P[2,9],查表發現最大價值是19。19比18 大，因此最大值是19。
• P[3,13]的含義是若裝第三件物品價值加9，揹包容量減小4，問題就變成了P[2,9]查表就知道P[2,9]最大是價值19，因此總價值是28；另外一種狀況是捨棄第三件物品，問題就變成P[2,13],查表發現最大價值是19。28比19大，因此最大值是28。

公式說明

假如揹包要放第i件物品，
此時若是不放第i件物品，那麼問題就轉化爲「前i-1件物品放入重量是w的揹包中」，價值爲f[i-1,j]；
若是放第i件物品，那麼問題就轉化爲「前i-1件物品放入剩下的重量爲j-Wi的揹包中」，此時能得到的最大價值就是f[i-1,j-Wi]再加上經過放入第i件物品得到的價值Pi，此時只要比較f[i-1,j]和f[i-1,j-Wi]+Pi那個大就能獲取到揹包裏最大的價值是多少了。

代碼

public class Test {
    public static int getMaxValue(int[] weight, int[] value, int w, int n) {
    	// 建立一個二維數組，橫列是物品的價值，豎列是物品的重量
        int[][] table = new int[n + 1][w + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) { //物品
            for (int j = 1; j <= w; j++) {  //揹包大小
                if (weight[i] > j) {
                    //當前物品i的重量比揹包容量j大，裝不下，確定就是不裝
                    table[i][j] = table[i - 1][j];
                } else {
                	//裝得下，Max{裝物品i， 不裝物品i}
                    table[i][j] = Math.max(table[i - 1][j], table[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
                }
            }
        }
        return table[n][w];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int n = 5, w = 13;                //物品個數，揹包容量
        int[] value = {0,9,10,9,2,24};    //各個物品的價值
        int[] weight = {0,4,5,4,3,10};    //各個物品的重量
        System.out.println(getMaxValue(weight, value, w, n));
    }
}

參考資料

• https://blog.csdn.net/qq_43914374/article/details/105370228
• https://www.kancloud.cn/kancloud/pack/70125
• http://www.javashuo.com/article/p-omaibrao-hv.html