置換羣學習筆記

羣論是數學分支之一，在OI中的運用主要在於置換羣和Burnside引理，polya定理。

http://blog.csdn.net/liangzhaoyang1/article/details/72639208

http://blog.csdn.net/gengmingrui/article/details/50564027

http://www.cnblogs.com/candy99/category/955780.html

https://files.cnblogs.com/files/HocRiser/Burnside.pdf

首先介紹羣的概念

羣是一個集合和一個定義在集合上的運算$*$組成的有序二元組，這個集合中的元素包含很是普遍（元素自己就能夠是一種運算等等）。羣須要知足四個公理：封閉性（對於*運算封閉），結合性（$a*b=b*a$)，存在幺元（$e*a=a$），任意元素存在逆元（$a*a^{-1}=e$）。

而後是置換羣$G$：一個置換規定一種變換法則，將集合中的一些元素映射成另外一些。

OI中通常能夠認爲「元素」是一個數組$\{a_i\}$，對這個數組的變換（如交換某兩個元素，翻轉等等）就是置換，置換羣就是一個置換的集合加上一個「疊加」運算（就是兩個置換一次操做）。

有了這些概念，就能夠引入Burnside的概念了。

不動點$c(a_i)$：若某元素在置換$a_i$下不改變，則成它爲置換$a_i$的不動點。

元素軌道$E_k$（等價類）：一個元素通過置換能獲得的全部元素集合（這裏元素能夠看作一個點，置換能夠看做走一條邊，軌道就是能走到的全部點的集合）。

穩定化子$Z_k$ ：使操做後這個元素不變的置換集合（即這個元素是此集合內全部置換的不動點）。

拉格朗日定理：一個有限羣的子羣的元素個數必能整除這個羣的元素個數。

軌道－穩定化子定理：$|E_k|*|Z_k|=G$

由上式便可推出Burnside引理：一個置換羣的等價類的個數等於各置換不動點個數的平均值。

證實見上面第四個網址，下同。

可是要求每一個置換的不動點個數過於複雜，這時候就須要用到polya定理，就是將不動點的個數具體化爲顏色的循環個數次方。

 

概念理解以後就能夠作練習了，下面是例題。

注意題目是否給出了恆等變換，若是沒有則須要本身添加。

切記：循環是全部問題的突破口，DP與數學通式是大部分題目的標算。

不涉及定理的題目：POJ3270,POJ2369,POJ1721,POJ3128,BZOJ1025

polya定理：BZOJ1004,POJ2409,POJ2154